Question

如图，点A、B在反比例函数y=

8

x

的图象上，作AC⊥y轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，则（　　）

• A、AB与CD平行
• B、AB与CD相交
• C、AB与CD平行或相交
• D、以上答案都不对

Answer 1

考点：反比例函数综合题,矩形的判定与性质,比例的性质,相似三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：由于点A、B是反比例函数图象的动点，因此可分点A在点B的左边、右边两种情况讨论．易证四边形OCED是矩形，从而有OC=ED，OD=CE．设AC=a，OC=b，OD=c，BD=d，则A（a，b），B（c，d）．由点A，B在反比例函数y=

8

x

的图象上得到AC•OC=OD•BD，从而有AC•ED=CE•BD，进而可以证到△AEB∽△CED，就可得到∠EAB=∠ECD，则有AB∥CD．

解答：解：①若点A在点B的左边，延长CA、DB交于点E，如图1，
∵AC⊥y轴，BD⊥x轴，∠COD=90°，
∴∠OCE=∠COD=∠ODE=90°．
∴四边形OCED是矩形．
∴OC=ED，OD=CE．
设AC=a，OC=b，OD=c，BD=d，
则A（a，b），B（c，d）．
∵点A（a，b），B（c，d）在反比例函数y=

8

x

的图象上，
∴ab=cd=8．
∴AC•OC=OD•BD．
∴AC•ED=CE•BD．
∴

AC

CE

=

BD

ED

．
∴

AE

CE

=

EB

ED

．
∵∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED．
∴∠EAB=∠ECD．
∴AB∥CD．
②若点A在点B的右边，如图2，
同理可得：AB∥CD．
综上所述：AB始终与CD平行．
故选：A．

点评：本题考查了反比例函数图象上的点坐标特征、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、比例的性质等知识，考查了分类讨论的思想，是一道好题．