Question

3．如图，已知点A是双曲线y=-$\frac{2}{x}$在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第一象限内，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）上运动，则k的值是6．

Answer 1

分析 设点A的坐标为（a，-$\frac{2}{a}$），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x²的值，继而得出y与x的函数关系式．

解答 解：设A（a，-$\frac{2}{a}$），
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB⊥OC，OC=$\sqrt{3}$AO，
∵AO=$\sqrt{{a}^{2}+（{\frac{2}{a}）}^{2}}$，
∴CO=$\sqrt{3}$AO=$\sqrt{3{a}^{2}+\frac{12}{{a}^{2}}}$，
过点C作CD⊥x轴于点D，
则可得∠BOD=∠OCD（都是∠COD的余角），
设点C的坐标为（x，y），则tan∠BOD=tan∠OCD，即$\frac{\frac{2}{a}}{a}$=$\frac{x}{y}$，
解得：y=$\frac{{a}^{2}}{2}$x，
在Rt△COD中，CD²+OD²=OC²，即y²+x²=3a²+$\frac{12}{{a}^{2}}$，
将y=$\frac{{a}^{2}}{2}$x代入，可得：x²=$\frac{12}{{a}^{2}}$，
故x=$\frac{2\sqrt{3}}{a}$，y=$\sqrt{3}$a，
则k=xy=6，
故答案为：6．

点评 本题考查了反比例函数的综合题，涉及了解直角三角形、等边三角形的性质及勾股定理的知识，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是将所学知识融会贯通，注意培养自己解答综合题的能力．