Question

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，OA=8，以OA为直径作⊙M，点C在⊙M上，∠AOC=45°，四边形ABCO为平行四边形．
（1）求证：BC为⊙M的切线．
（2）求点B的坐标．
（3）若D点坐标为（3$\sqrt{3}$，-3），求∠OCD的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接CM，求出∠OCM=∠COA=45°，求出∠CMA=90°，根据平行四边形的性质求出∠BCM=∠CMA即可；
（2）求出OM和CM值，即可求出B的坐标；
（3）连接AD，过D作DN⊥OA于N，根据D的坐标求出DO的值，得出∠OAD=∠OCD，在Rt△AND中，根据解直角三角形求出即可．

解答 （1）证明：连接CM，
∵OM=CM，∠AOC=45°，
∴∠AOC=∠OCM=45°，
∴∠CMA=45°+45°=90°，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC∥OA，
∴∠BCM=180°-90°=90°，
∴MC⊥BC，
∵MC是半径，
∴BC是⊙M的切线；

（2）解：∵OA=8，
∴OM=4，
∴MC=OM=4，
∴B的横坐标是4+8=12，
即B的坐标是（12，4）；

（3）解：连接AD，过D作DN⊥OA于N，
∵D（3$\sqrt{3}$，-3），
∴ON=3$\sqrt{3}$，DN=3，
∴DO=$\sqrt{{ON}^{2}{+DN}^{2}}$=$\sqrt{{（3\sqrt{3}）}^{2}{+3}^{2}}$=6，
∵OA=8，
由圆周角定理得：∠OAD=∠OCD，
即sin∠OCD=sin∠OAD=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查了平行四边形性质，解直角三角形，切线的判定，圆周角定理等知识点的应用，作出适当的辅助线是解答此题的关键．