Question

13．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P在对角线BD上，点Q在直线AD上，且∠CPQ=120°．
（1）如图1，若点P为菱形ABCD的对角线的交点．
①依题意补全图1；
②猜想PC与PQ的数量关系并加以证明；
（2）如图2，若∠CPD=80°，连接CQ，写出求∠PQD度数的思路．

Answer 1

分析 （1）①首先根据菱形的特征，判断出∠CPD=90°，再根据∠CPQ=120°，判断出∠DPQ=30°；然后判断出∠ADP=30°，即可推得点Q是线段DP的垂直平分线与AD的交点；最后根据线段垂直平分线的作法作图即可．
②猜想PC与PQ的数量关系为：PC=PQ．首先根据∠DPQ=∠ADP=30°，求出∠AQP=60°，推得PA=PQ；然后判断出PC=PA，即可推得PC=PQ．
（2）首先根据∠CPQ=120°，∠CPD=80°，求出∠DPQ的度数是多少；然后在△DPQ中，根据三角形的内角和定理，求出∠PQD的度数是多少即可．

解答 解：（1）①如图1，，
∵点P为菱形ABCD的对角线的交点，
∴∠CPD=90°，
∵点Q在直线AD上，且∠CPQ=120°，
∴∠DPQ=120°-90°=30°，
又∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=60°，
∴∠ADP=60°÷2=30°，
∴∠DPQ=∠ADP，
∴点Q是线段DP的垂直平分线与AD的交点．

②猜想PC与PQ的数量关系为：PC=PQ．
证明：如图2，，
∵∠DPQ=∠ADP=30°，
∴∠AQP=30°+30°=60°，
又∵∠QAP=∠APD-∠ADP=90°-30°=60°，
∴∠AQP=∠QAP，
∴PA=PQ，
又∵PC=PA，
∴PC=PQ．

（2）如图3，，
∵∠CPQ=120°，∠CPD=80°，
∴∠DPQ=120°-80°=40°，
又∵∠ADP=30°，
∴∠PQD=180°-30°-40°=110°．

点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）此题还考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．