Question

5．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，点D是弧AC上的一点，连接AD、BD，AC交BD于点F，DE⊥AB于点E，交AC于点P，∠ABD=∠CBD=∠CAD．
（1）求证：PA=PD；
（2）判断AP与PF是否相等，并说明理由；
（3）当点C为半圆弧的中点，小李通过操作发现BF=2AD，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出BF与AD正确的关系式．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接CD，由AB是半⊙O的直径，DE⊥AB于E，得到∠DBA+∠DAB=∠ADE+∠DAE=90°，于是得到∠DBA=∠ADE，根据圆周角定理得到∠DCA=∠DBA=∠DAC，即可求出结论；
（2）根据圆周角定理求出∠DAP=∠ADP，求出AP=DP，求出∠BDE=∠DAE，求出DP=FP，即可得出答案；
（3）根据全等三角形的性质和判定求出AD=BF，DA=DG，即可得出答案．

解答 解：（1）如图1，连接CD，
∵AB是半⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEA=90°，
∴∠DBA+∠DAB=∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠DBA=∠ADE，
∵点D是弧AC的中点，
∴∠DCA=∠DBA=∠DAC，
∴∠DAP=∠ADP，
∴AP=DP；
（2）AP=PF；
理由是：∵AB是直径，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠DEB=90°，
∴∠ADE=∠ABD，
∵D为弧AC中点，
∴∠DAC=∠DBA，
∴∠ADE=∠DAC，
∴AP=DP，∠FDE=∠AFD，
∴DP=PF，
∴AP=PF；

（3）小李的发现是正确的，
理由是：如图2，延长AD、BC，两线交于G，
∵C为半圆弧的中点，D是弧AC的中点，
∴∠CBD=∠GAC，∠BCA=∠ACG=90°，AC=BC，
在△CBF和△CAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBF=∠CAG}\\{CB=CA}\\{∠BCA=∠ACG}\end{array}\right.$，
∴△CBF≌△CAG（ASA），
∴BF=AG，
∵BC为直径
∴∠ADB=90°，
∵D为弧AC中点，
∴∠GBD=∠ABD
在△ADB和△GDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDA=∠BDG}\\{DB=DB}\\{∠ABD=∠GBD}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△GDB（ASA），
∴DG=DA=$\frac{1}{2}$AG，
∴BF=2AD．

点评 本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．