Question

20．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），C为抛物线与y轴的交点且S_△ABC=6
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，且S_△POC=4S_△BOC，求点P的坐标；
（3）①设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值；
②若点M是抛物线上在A、C之间的一个动点，则三角形ACM的最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据根据三角形的面积公式，可得P点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）①根据垂直于x的直线上两点间的距离是大的纵坐标减小的纵坐标，可得函数解析式，根据顶点坐标是函数的最值，可得答案，
②根据面积的和差，可得三角形的面积，根据QM最大时，三角形的面积最大，可得答案．

解答 解：（1）由A、B关于x=-1对称，得
B（1，0），
将A、B点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\\{-\frac{b}{2a}=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$
抛物线的解析式为y=x²+2x-3；
（2）S_△BOC=$\frac{1}{2}$•OB•OC=$\frac{3}{2}$
S_△poc=$\frac{1}{2}$•OC•|P_x|=4S_△BOC=6，
|p_x|=4，解得x=4或x=-4，
当x=4时，y=4²+2×4-3=21，即P₁（4，21）
当x=-4时，y=（-4）²+2×（-4）-3=5，即P₂（-4，5）
综上所述：P₁（4，21）P₂（-4，5）．
（3）①y_AC=-x-3，设点Q（a，-a-3），则点D（a，a²+2a-3），
∴QD=-a²-3a　且-3≤a≤0，
当a=$-\frac{3}{2}$时，QD的最大值为$\frac{9}{4}$；
②如图，
S_{△ACM的最大值}=S_△AQM+S_CQM=$\frac{1}{2}$QM•AF+$\frac{1}{2}$QM•OF=$\frac{1}{2}$QM•OA=$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×3=$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，函数值相等的两点关于对称轴对称；（2）利用三角形的面积得出P点的横坐标是解题关键；（3）利用垂直于x的直线上两点间的距离是大的纵坐标减小的纵坐标得出函数解析式是解题关键，②利用面积的和差是解题关键．