Question

12．在等边△ABC中，AB=6，点D在边BC上，CD=4，以AD为边作等边△ADE，则线段BE的长为4或2$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 如图1，连接BE，CE，过E作EF⊥BC交BC的延长线于F，根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，于是得到∠BAD=∠CAE，推出△ABD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD=CE=BC-CD=2，∠ABD=∠ACE=60°，求得∠ECF=60°，解直角三角形得到CF=1，EF=$\sqrt{3}$，根据勾股定理即可得到结论；如图2，连接BE，根据等边三角形的性质得到∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，于是得到∠BAE=∠CAD，推出△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质得到BE=CD=4

解答 解：如图1，连接BE，CE，过E作EF⊥BC交BC的延长线于F，
∵△ABC与△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE=BC-CD=2，∠ABD=∠ACE=60°，
∴∠ECF=60°，
∴CF=1，EF=$\sqrt{3}$，
∴BE=$\sqrt{B{F}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{{7}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$；
如图2，连接BE，
∵△ABC与△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAE=∠CAD，
在△ABE与△ACD中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠EAB=∠DAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD=4，
∴线段BE的长为4或2$\sqrt{13}$，
故答案为：4或2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．