Question

3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=8，OC=4．点P从点O出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA，过点D作DQ⊥OA，交OA于点Q．
（1）求证：△COP∽△PQD；
（2）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（3）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（4）在点P从O向A运动的过程中，点A与点D所在的直线能否平分矩形OABC的面积？若能，求t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由四边形OABC是矩形，DQ⊥OA，易得∠COP=∠PQD=90°，且将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，根据等角的余角相等，可得∠OCP=∠DPQ，则可证得：△COP∽△PQD；
（2）首先由点P从点O出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，可得OP=2t，然后设CP的中点为F，可得F点的坐标为（t，2），继而由△COP∽△PQD，根据相似三角形的对应边成比例，求得PQ与DQ，则可表示出点D的坐标；
（3）可求得S_△DPA=$\frac{1}{2}$AP×DQ=$\frac{1}{2}$（8-2t）×t，然后由二次函数的最值，求得答案；
（4）易得当直线AD过点C时，点A与点D所在的直线平分矩形OABC的面积，则可利用待定系数法求得直线AC的解析式，代入点D的坐标，即可求得t的值．

解答 （1）证明：∵四边形OABC是矩形，DQ⊥OA，
∴∠COP=∠PQD=90°，
∴∠OCP+∠OPC=90°，
∵∠CPD=90°，
∴∠OPC+∠DPQ=90°，
∴∠OCP=∠DPQ，
∴△COP∽△PQD；

（2）解：点P从点O出发，沿x轴以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=2t，而OC=4，
∴P（2t，0），
设CP的中点为F，则F点的坐标为（t，2），
∵△COP∽△PQD，
∵PD：CP=1：2，
∴DQ：PO=PQ：CO=PD：CP=1：2，
∴DQ=$\frac{1}{2}$PO=t，PQ=$\frac{1}{2}$CO=2，
∴D点坐标为（2t+2，t）；

（3）解：∵D点坐标为（2t+2，t），OA=8，
∴S_△DPA=$\frac{1}{2}$AP×DQ=$\frac{1}{2}$（8-2t）×t=t²-4t=-（t-2）²+4，
∴当t=2时，S_最大=4；

（4）解：能．
当直线AD过点C时，点A与点D所在的直线平分矩形OABC的面积．
∵OA=8，OC=4，
∴点A（8，0），点C（0，4），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+4，
∵点D在直线AC上，
∴t=-$\frac{1}{2}$（2t+2）+4，
解得：t=$\frac{3}{2}$．

点评 此题属于相似三角形的综合题．考查了相似三角形的判定与性质、待定系数法求函数的解析式以及二次函数的最值问题．注意方程思想的应用是解此题的关键．