Question

15．已知函数y=-$\frac{4}{3}$x+8与x轴和y轴分别交于D，C长方形OCAB在第一象限，点E在AB上，沿CE折叠，点A恰好与点D重合．
（1）求直线CE的解析式．
（2）在x轴上找一点P，使PC+PE的和最小，并求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数的性质求出点C的坐标和点D的坐标，根据勾股定理求出CD的长，设BE=x，根据正方形的性质表示出DE，根据勾股定理求出x的值，得到点E的坐标，运用待定系数法求出直线CE的解析式；
（2）根据轴对称变换的性质确定点P的坐标，根据待定系数法求出直线EC′的解析式，得到P点坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=8，
y=0时，x=6，
故点C的坐标为（0，8），点D的坐标为（6，0），
则OC=8，OD=6，
由勾股定理得，CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=10，
由翻折变换的性质可知，AC=CD=10，BD=OB-OD=4，
设BE=x，则DE=AE=8-x，
由勾股定理得，DE²=BD²+BE²，即（8-x）²+4²+x²，
解得，x=3，
则点E的坐标为（10，3），
设直线CE的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=3}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{1}{2}$，b=8，
故直线CE的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+8；
（2）∵点C关于x轴的对称点为C′，
∴点C′的坐标为（0，-8），
连接EC′，交x轴于P，则PC+PE的和最小，
设直线EC′的解析式为y=ax+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{10a+c=3}\\{c=-8}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{11}{10}$，c=-8．
∴直线EC′的解析式为y=$\frac{11}{10}$x-8，
y=$\frac{11}{10}$x-8与x轴的交点P的坐标为（$\frac{80}{11}$，0）．

点评 本题考查的是一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式和勾股定理的应用以及轴对称变换的性质，根据轴对称的性质确定点P的坐标是解题的关键．