Question

7．如图，平面直角坐标系中，把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A（0，6）处，DE与AC相交于点F，且$\frac{EF}{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求直线DE的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据正切的概念求出∠EAF=30°，根据直角三角形的性质和勾股定理求出OC的长，得到B、C两点的坐标；
（2）根据题意和翻折变换的性质求出D、E两点的坐标，运用待定系数法求出直线DE的解析式．

解答 解：（1）由题意得，∠AFE=90°，
tan∠EAF=$\frac{EF}{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠EAF=30°，
∵AB∥OC，
∴∠ACO=∠EAF=30°，又OA=6，
∴AC=12，
由勾股定理得，OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴B点的坐标为（6$\sqrt{3}$，6），C点的坐标为（6$\sqrt{3}$，0）；
（2）∵$\frac{EF}{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AF=6，
∴EF=2$\sqrt{3}$，
又∵∠EAF=30°，
∴AE=4$\sqrt{3}$，
则点E的坐标为（4$\sqrt{3}$，6），
由翻折变换的性质可知，CD=AE=4$\sqrt{3}$，
OD=OC-CD=2$\sqrt{3}$，
则点D的坐标为（2$\sqrt{3}$，0），
设直线DE的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{4\sqrt{3}k+b=6}\\{2\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得k=$\sqrt{3}$，b=-6．
则直线DE的解析式为：y=$\sqrt{3}$x-6．

点评 本题考查的是一次函数的知识、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理的应用、直角三角形的性质，灵活运用所学知识是解题的关键，解答时注意锐角三角函数的概念的正确运用．