Question

12．已知抛物线经过点（4，-2），当x≤3时，y随x的增大而减小，当x≥3时，y随x的增大而增大，且顶点到x轴的距离为4，求二次函数的解析式．

Answer 1

分析 利用二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=3，分类讨论：当顶点坐标为（3，4）时，设抛物线解析式为y=a（x-3）²+4，当顶点坐标为（3，-4）时，设抛物线解析式为y=a（x-3）²-4，然后把（4，-2）分别代入求出对应的a的值即可得到满足条件的抛物线的解析式．

解答 解：∵当x≤3时，y随x的增大而减小，当x≥3时，y随x的增大而增大，
∴抛物线的对称轴为直线x=3，抛物线的开口向上，
当顶点坐标为（3，4）时，设抛物线解析式为y=a（x-3）²+4，
把（4，-2）代入得a+4=-2，解得a=-6（舍去），
当顶点坐标为（3，-4）时，设抛物线解析式为y=a（x-3）²-4，
把（4，-2）代入得a-4=-2，解得a=2，此时抛物线解析式为y=2（x-3）²-4，
即抛物线解析式为y=2（x-3）²-4．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．