Question

2．（1）猜想并填空，如图1，E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点，DE交BC于F，观察图形，则有S_△ABF=S_△EFC．填“＞”或“＜”或“=”）
（2）利用以上思想方法解决以下问题：
已知：平行四边形ABCD，∠C=60°，AB=a，BC=b，以AD、BD为边作等边△ADE和△BDF，图中△ABH，△BEG和△DHF之间的面积关系是什么？说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出△ADF的面积=△ABF的面积+△CDF的面积=$\frac{1}{2}$平行四边形ABCD的面积，△CDE的面积=$\frac{1}{2}$平行四边形ABCD的面积，得出△ABF的面积+△CDF的面积=△CDF的面积，即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质得出AD=DE，∠DAE=∠ADE=∠AED=∠BDF=60°，BF=BD=DF，得出∠BDE=∠FDA，由SAS证明△DBE≌△DFA，得出△DBE的面积=△DFA的面积，BE=FA，再证明△BEG是等边三角形，得出BE=BG，证明△CDG是等边三角形，得出CD=DG，因此AB=DG，由SSS证明△ABF≌△GDB，得出△ABF的面积=△GDB的面积，证出△BEG的面积+△ABH的面积+△AFH的面积=△DHF的面积+△AFH的面积，即可得出△ABH的面积+△BEG的面积=△DHF的面积．

解答 解：（1）猜想：S_△ABF=S_△EFC．理由如下：
如图1所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△ADF的面积=△ABF的面积+△CDF的面积=$\frac{1}{2}$平行四边形ABCD的面积，△CDE的面积=$\frac{1}{2}$平行四边形ABCD的面积，
∴△ABF的面积+△CDF的面积=△CDF的面积，
∴S_△ABF=S_△EFC．
故答案为：=；
（2）△ABH的面积+△BEG的面积=△DHF的面积；理由如下：
连接AF，如图2所示：
∵△ADE和△BDF是等边三角形，
∴AD=DE，∠DAE=∠ADE=∠AED=∠BDF=60°，BF=BD=DF，
∴∠BDE=∠FDA，
在△DBE和△DFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DA}&{\;}\\{∠BDE=∠FDA}&{\;}\\{BD=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△DFA（SAS），
∴△DBE的面积=△DFA的面积，BE=FA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠EBG=∠DAE=60°，∠BGE=∠ADE=60°，
∴△BEG是等边三角形，∠DGC=∠BGE=60°，
∴BE=BG，
∴AF=BG，
∵∠C=60°，
∴△CDG是等边三角形，
∴CD=DG，
∴AB=DG，
在△ABF和△GDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=GD}&{\;}\\{BF=BD}&{\;}\\{AF=BG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△GDB（SSS），
∴△ABF的面积=△GDB的面积，
∵△DBG的面积+△BEG的面积=△DHF的面积+△AFH的面积，
△DBG的面积=△ABF的面积=△ABH的面积+△AFH的面积，
∴△BEG的面积+△ABH的面积+△AFH的面积=△DHF的面积+△AFH的面积，
∴△ABH的面积+△BEG的面积=△DHF的面积．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；本题有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．