Question

17．如图，直线AB：y=kx+b交x轴于点A（-3，0），交y轴于点B（0，2），交直线CD于点E，且E点的横坐标为3，直线CD交x轴于点D（10，0）．
（1）求直线AB函数表达式；
（2）求△BED的面积；
（3）若点p（m，n）在线段AE、ED上运动（不与A、D两点重合），设△ODP的面积为S，试求出S与m的函数关系式，并求出当S=8时m的值．

Answer 1

分析 （1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b，将点A（-3，0）、B（0，2）代入可求得直线AB的函数表达式为y=$\frac{2}{3}x+2$；
（2）如图1所示：过点E作EF⊥OD，垂足为F．先求得点E的坐标，然后根据S_△EBD=S_BOFE+S_EFD-S_△BOD可求得S_△EBD=13；
（3）如图2所示：当点P在AE上时，过点P作PF⊥OA，垂足为F可求得S_△OPD=$\frac{10}{3}m+10$（-3＜m≤3），如图3所示：当点P在ED上时，过点P作PF⊥OD，垂足为F．先求得直线DE的表达式，然后利用三角形的面积公式可求得S_△POD=$-\frac{20}{7}m+\frac{200}{7}$（3＜m＜10），由s=8可知$\frac{10}{3}m+10=8$或$-\frac{20}{7}m+\frac{200}{7}$=8，从而可解得m=-$\frac{3}{5}$或m=7.2．

解答 解：（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b，将点A（-3，0）、B（0，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故直线AB的函数表达式为y=$\frac{2}{3}x+2$．
（2）如图1所示：过点E作EF⊥OD，垂足为F．

将x=3代入y=$\frac{2}{3}x+2$得；y=4，则点E的坐标为（3，4）．
S_△EBD=S_BOFE+S_EFD-S_△BOD
=$\frac{1}{2}×（2+4）×3$+$\frac{1}{2}×7×4$-$\frac{1}{2}×2×10$
=13．
（3）如图2所示：当点P在AE上时，过点P作PF⊥OA，垂足为F．

S_△OPD=$\frac{1}{2}OD•PF$=$\frac{1}{2}×10×（\frac{2}{3}m+2）$=$\frac{10}{3}m+10$（-3＜m≤3）．
如图3所示：当点P在ED上时，过点P作PF⊥OD，垂足为F．

设直线ED的解析式为y=kx+b，将点E（3，4），D（10，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{10k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{7}}\\{b=\frac{40}{7}}\end{array}\right.$．
则直线DE的表达式为y=-$\frac{4}{7}x+\frac{40}{7}$．
${S}_{△POD}=\frac{1}{2}OD•PF$=$\frac{1}{2}×10×（-\frac{4}{7}m+\frac{40}{7}）$=$-\frac{20}{7}m+\frac{200}{7}$（3＜m＜10）．
综上所述，S与m的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{10}{3}m+10（-3＜m≤3）}\\{-\frac{20}{7}m+\frac{200}{7}（3＜m＜10）}\end{array}\right.$．
当$\frac{10}{3}m+10=8$时，解得：m=-$\frac{3}{5}$．
当$-\frac{20}{7}m+\frac{200}{7}$=8时，解得：m=7.2．
综上所述，当S=8时，m=-$\frac{3}{5}$或m=7.2．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法、三角形的面积公式、割补法求面积，根据直线AE和直线ED的解析式得到DF的长度（用含m的式子表示）是解题的关键．