Question

20、如图，已知△ABC和△DEF，∠A=∠D=90°，且△ABC与△DEF不相似，问是否存在某种直线分割，使△ABC所分割成的两个三角形与△DEF所分割成的两个三角形分别对应相似？
（1）如果存在，请你设计出分割方案，并给出证明；如果不存在，请简要说明理由；
（2）这样的分割是唯一的吗？若还有，请再设计出一种．

Answer 1

分析：（1）作∠BCH=∠E，∠EFG=∠B，根据两组角对应相等两三角形相似可以得到分成的一对三角形相似，又∠AHC=∠B+∠BCH，∠DGF=∠E+∠EFG，所以∠AHC=∠DGF，又∠A=∠D，所以△ACH∽△DFG．
（2）不唯一，作∠CBM=∠F，∠FEN=∠C即可．

解答：解：（1）能．（2分）
由题意，∠B+∠ACB=∠E+∠DFE，∠B≠∠E、∠B≠∠DFE，（4分）
设∠B＜∠DFE，
作∠EFG=∠B，G在DE上，（5分）
作∠BCH=∠E，H在AB上（如图），（6分）
可得，△HBC∽△GFE；
∵∠AHC=∠B+∠BCH，∠DGF=∠E+∠EFG，
∴∠AHC=∠DGF，
又∠A=∠D，
∴△AHC∽△DGF．（8分）
（2）不唯一，作∠CBM=∠F，∠FEN=∠C即可．
此时△BCM∽△FEN，△ABM∽△DEN．

点评：本题关键在于先分割出两组角对应相等，得到一对相似三角形，再根据三角形的外角性质得到一对相等的角，从而证明另一对三角形也相似．