Question

将一块三角板按如图所示放在直角坐标系中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=2．将三角板沿OB翻折后，得到△OBC．
（1）求点C的坐标；
（2）求经过O，A，C三点的抛物线的表达式；
（3）以OB为直径的圆是否经过（2）中所求抛物线的顶点？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）作CH⊥x轴，垂足为H，在Rt△OAB中运用三角函数可求出OA，由翻折可得OC=OA，∠COH=2∠AOB，然后在Rt△OCH中运用三角函数就可解决问题；
（2）只需运用待定系数法就可解决问题；
（3）可运用抛物线的顶点坐标公式求出顶点坐标，从而得到点C就是抛物线的顶点，然后根据∠OCB=90°就可得到点C在以OB为直径的圆上，从而解决问题．

解答：解：（1）作CH⊥x轴，垂足为H，如图所示，

在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=2，
∴OA=

AB

tan∠AOB

=

2

tan30°

=2

3

．
在Rt△OCH中，OC=OA=2

3

，∠COH=2∠AOB=60°，
∴OH=OC•cos∠COH=2

3

×cos60°=2

3

×

1

2

=

3

．
CH=OC•sin∠COH=2

3

×sin60°=2

3

×

3

2

=3．
∴点C的坐标为（

3

，3）．

（2）设所求的抛物线的表达式为y=ax²+bx+c，
将O（0，0），A（2

3

，0），C（

3

，3）分别代入表达式，得

c=0 12a+2 3 b+c=0 3a+ 3 b+c=3

，
解得：

a=-1 b=2 3 c=0

，
∴经过O，A，C三点的抛物线的表达式为y=-x²+2

3

x．

（3）∵x=-

b

2a

=-

2 3

2×(-1)

=

3

，y=

4ac-b2

4a

=

0-(2 3 )2

4×(-1)

=3，
∴抛物线的顶点为（

3

，3）．
∵∠OCB=90°，
∴点C（

3

，3）在以AB为直径的圆上，
∴以OB为直径的圆经过抛物线的顶点．

点评：本题主要考查了用待定系数法求抛物线的表达式、抛物线的顶点坐标公式、三角函数、圆周角定理、轴对称的性质等知识，有一定的综合性．