Question

【题目】如图，在中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①为等腰三角形；②；③；④．其中正确的结论有（ ）

A.个B.个C.个D.个

Answer 1

【答案】D

【解析】

①由等腰直角三角形的性质得∠BAD=∠CAD=∠C=45°，再根据三角形外角性质可得到∠AEF=∠AFE，可判断△AEF为等腰三角形，于是可对①进行判断；求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，证△DFB≌△DAN，即可判断②③；连接EN，只要证明△ABE≌△NBE，即可推出∠ENB=∠EAB=90°，由此可知判断④．

解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴∠BAD=∠CAD=∠C=45°，BD=AD，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22.5°，

∴∠AEF=∠CBE+∠C=22.5°+45°=67.5°，

∠AFE=∠FBA+∠BAF=22.5°+45°=67.5°，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AF=AE，即△AEF为等腰三角形，所以①正确；

∵为的中点，

∴AM⊥BE，

∴∠AMF=∠AME=90°，

∴∠DAN=90°67.5°=22.5°=∠MBN，

在△FBD和△NAD中

，

∴△FBD≌△NAD（ASA），

∴DF=DN，AN=BF，所以②③正确；

∵AM⊥EF，

∴∠BMA=∠BMN=90°，

∵BM=BM，∠MBA=∠MBN，

∴△MBA≌△MBN，

∴AM=MN，

∴BE垂直平分线段AN，

∴AB=BN，EA=EN，

∵BE=BE，

∴△ABE≌△NBE，

∴∠ENB=∠EAB=90°，

∴EN⊥NC，故④正确，

故选：D．