【题目】如图,在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,⊙D与BC、AC、AB都相切,切点分别是E、F、G,BA、ED的延长线交于点H,a、b是关于x的方程x2﹣(c+4)x+4c+8=0的两个根.
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)若25asin∠BAC=9c,求四边形CEDF的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)36.
【解析】
(1)根据根与系数的关系得到a+b=c+4,ab=4c+8,把第一等式两边平方后把第二个等式代入得到a2+b2=c2,根据勾股定理的逆定理即可得到结论;
(2)由25asin∠BAC=9c,即sin∠BAC=,再根据三角函数定义得sin∠BAC=,则3c=5a,设c=5x,则a=3x,b=4x,代入a+b=c+4求出x=2,则得到a=6,b=8,c=10;根据切线的性质得到DE=DF=DG,DE⊥BC,DG⊥AB,得到四边形DECF为正方形,设DE=DF=DG=R,利用S△ABC+S梯形DECA=S△BED+S△DAB,得到关于R的方程,解方程求出R,即可得到四边形CEDF的面积.
(1)∵a、b是关于x的方程x2﹣(c+4)x+4c+8=0的两个根,
∴a+b=c+4,ab=4c+8,
∴(a+b)2=(c+4)2,即a2+2ab+b2=c2+8c+16,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC是直角三角形;
(2)连DB,如图
∵25asin∠BAC=9c,即sin∠BAC=,
在Rt△ABC中,sin∠BAC=,
∴=,
∴25a2=9c2,
∴3c=5a,
设c=5x,则a=3x,b=4x,
∴5x+4x=3x+4x+4,解得x=2,
∴a=6,b=8,c=10,
∵⊙D与BC、AC、AB都相切,切点分别是E、F、G,
∴DE=DF=DG,DE⊥BC,DG⊥AB,
∴四边形DECF为正方形,
设DE=DF=DG=R,
∵S△ABC+S梯形DECA=S△BED+S△DAB,
∴×6×8+×(R+8)×R=×(6+R)×R+×10×R,解得R=6,
∴四边形CEDF的面积=R2=36.
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【题目】如图,在中,,,于点,的平分线分别交、于、两点,为的中点,的延长线交于点,连接,下列结论:①为等腰三角形;②;③;④.其中正确的结论有( )
A.个B.个C.个D.个
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是弧AB的中点,点D是⊙O外一点,AD=AB,AD交⊙O于F,BD交⊙O于E,连接CE交AB于G.
(1)证明:∠C=∠D;
(2)若∠BEF=140°,求∠C的度数;
(3)若EF=2,tanB=3,求CECG的值.
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【题目】某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设.现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线、上.
活动一、如图甲所示,从点开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直(为第1根小棒)
数学思考:
(1)小棒能无限摆下去吗?答: (填“能”或“不能”)
(2)设,求的度数;
活动二:如图乙所示,从点开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中为第一根小棒,且.
数学思考:
(3)若已经摆放了3根小棒,则 , , ;(用含的式子表示)
(4)若只能摆放5根小棒,则的取值范围是 .
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【题目】已知:如图,△ABC内接于⊙O,AF是⊙O的弦,AF⊥BC,垂足为D,点E为弧BF上一点,且BE=CF,
(1)求证:AE是⊙O的直径;
(2)若∠ABC=∠EAC,AE=8,求AC的长.
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【题目】甲、乙两车从A地出发,沿同一路线驶向B地,甲车先出发匀速驶向B地,40min后,乙车出发,匀速行驶一段时间后,在途中的货站装货耗时半小时.由于满载货物,为了行驶安全,速度减少了50km/h,结果与甲车同时到达B地,甲乙两车距A地的路程y(km)与乙车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示
(1)a= ,甲的速度是 km/h;
(2)求线段CF对应的函数表达式,并求乙刚到达货站时,甲距B地还有多远?
(3)乙车出发 min追上甲车?
(4)直接写出甲出发多长时间,甲乙两车相距40km.
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【题目】如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用,表示直角三角形的两直角边(),下列四个说法:
①,②,③,④.
其中说法正确的是 …………………………………………………………( )
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
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【题目】如图,已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆,过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D,交BC的延长线于点E.
(1)求证:∠DAC=∠DCE;
(2)若AB=2,sin∠D=,求AE的长.
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