Question

【题目】某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线、上．

活动一、如图甲所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直（为第1根小棒）

数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答： （填“能”或“不能”）

（2）设，求的度数；

活动二：如图乙所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且．

数学思考：

（3）若已经摆放了3根小棒，则 ， ， ；（用含的式子表示）

（4）若只能摆放5根小棒，则的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（1）能；（2）θ＝22.5°；（3）2θ，3θ，4θ；（4）15°≤θ＜18°．

【解析】

（1）由小棒与小棒在端点处互相垂直，即可得到答案；

（2）根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质，即可得到答案；

（3）由，得∠AA2A1=∠A2AA1=θ，从而得∠AA2A1+∠A2AA1=2θ，同理得∠A2AA1+=θ+2θ=3θ，∠A2AA1+θ+3θ=4θ；

（4）根据题意得：5θ＜90°且6θ≥90°，进而即可得到答案．

（1）∵小棒与小棒在端点处互相垂直即可，

∴小棒能无限摆下去，

故答案是：能；

（2）∵A1A2＝A2A3，A1A2⊥A2A3，

∴∠A2A1A3＝45°，

∴∠AA2A1+θ＝45°，

∵AA1＝A1A2

∴∠AA2A1＝∠BAC=θ，

∴θ＝22.5°；

（3）∵，

∴∠AA2A1=∠A2AA1=θ，

∴∠AA2A1+∠A2AA1=2θ，

∵，

∴=2θ，

∴∠A2AA1+=θ+2θ=3θ，

∵，

∴3θ，

∴∠A2AA1+θ+3θ=4θ，

故答案是：2θ，3θ，4θ；

（4）由第（3）题可得：5θ，6θ，

∵只能摆放5根小棒，

∴5θ＜90°且6θ≥90°，

∴15°≤θ＜18°．

故答案是：15°≤θ＜18°．