Question

如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E、F分别是AD、BC上的点，线段EF过矩形对角线AC的中点O，且EF⊥AC，PF∥AC，则EF：PE的值是

 

．

Answer 1

考点：矩形的性质,线段垂直平分线的性质,勾股定理

专题：

分析：连接AF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=FC，设AB=4a，BF=x，然后表示出AF=8a-x，在Rt△ABF中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AP，然后利用勾股定理列式求出PE、EF，再求出比值即可．

解答：解：如图，连接AF，
∵EF⊥AC，O是AC的中点，
∴EF垂直平分AC，
∴AF=FC，
设AB=4a，BF=x，
∵AD=2AB=2•4a=8a，
∴BC=8a，
AF=FC=8a-x，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
即（4a）²+x²=（8a-x）²，
解得x=3a，
∴FC=5a，
∵PF∥AC，
∴△ABC∽△PBF，
∴

PB

AB

=

BF

BC

，
即

PB

4a

=

3a

8a

，
解得PB=

3

2

a，
∴AP=4a-

3

2

a=

5

2

a，
易得△AEO≌△CFO，
∴AE=FC=5a，
在Rt△APE中，由勾股定理得，PE=

( 5 2 a)2+(5a)2

=

5 5

2

a，
又EF=

(4a)2+(8a-2×3a)2

=2

5

a，
∴EF：PE=2

5

a：

5 5

2

a=

4

5

．
故答案为：

4

5

．

点评：本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，设未知数分别表示出PE、EF是解题的关键．