Question

6．已知：点I是△ABC的内心，AI的延长线交外接圆于D．则DB与DI相等吗？为什么？

Answer 1

分析 由三角形内心的定义可知∠1=∠4，∠2=∠3，由圆周角定理可知∠4=∠5，于是可求得∠1+∠2=∠3+∠4=∠3+∠5，即∠BIA=∠IBD，故此ID=BD．

解答 解：ID=BD．
理由：如图所示：连接BI．

由三角形的外角的性质可知：∠1+∠2=∠BIA．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠1=∠4，∠2=∠3．
又∵∠4=∠5，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠3+∠5，即∠BIA=∠IBD．
∴ID=BD．

点评 本题主要考查的是三角形的内心、圆周角定理、三角形的外角的性质，证得由三角形的内心的定义得到∠1=∠4，∠2=∠3是解题的关键．