Question

19．AC为⊙O的直径，B是⊙O外一点，AB交⊙O于E点，过E点作⊙O的切线，交BC于D点，DE=DC，作EF⊥AC于F点，交AD于M点．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：EM=FM．

Answer 1

分析 （1）连接CE，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，由弦切角定理得到∠2=∠BAC，根据圆周角定理得到∠AEC=90°，于是得到∠BAC+∠3=90°，等量代换得到∠1+∠3=90°，求得∠ACB=90°，即可得到结论；
（2）由BC⊥AC，EF⊥AC求得EF∥BC，于是得到△AEM∽△ABD，△ANF∽△ACD，根据相似三角形的性质得到$\frac{EM}{BD}=\frac{AM}{AD}$，$\frac{MF}{CD}=\frac{AM}{AD}$，等量代换得到$\frac{EM}{BD}=\frac{FM}{CD}$，根据比例的性质即可得到结论．

解答 解：（1）连接CE，
∵DE=CD，
∴∠1=∠2，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠2=∠BAC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠BAC+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠ACB=90°，
∴BC是⊙O的切线；

（2）∵∠1+∠3=90°，
∴BC⊥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BC，
∴△AEM∽△ABD，△ANF∽△ACD，
∴$\frac{EM}{BD}=\frac{AM}{AD}$，$\frac{MF}{CD}=\frac{AM}{AD}$，
∴$\frac{EM}{BD}=\frac{FM}{CD}$，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠B=∠2+∠BED=90°，
∴∠B=∠BED，
∴DE=BD，
∴BD=CD，
∴EM=FM．

点评 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．