Question

【题目】如图，已知抛物线经过点，与轴交于两点，为顶点，为抛物线上一动点(与点不重合)

求该抛物线的解析式；

当点在直线的下方运动时，求的面积的最大值；

该抛物线上是否存在点，使？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）点的坐标为或

【解析】

（1）将点A、B、C坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）利用S△PBC＝PG（xCxB），即可求解；

（3）分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．

解：抛物线过两点

可设为

又过点

解析式为；

，

设直线BC的解析式为y=kx+b

把B,C坐标代入得

解得

可得直线的解析式为：

过点作轴的垂线，交于点

设点的横坐标为

则点的坐标为，点的坐标为

，．

当时，的面积最大，最大值为；

存在．

∵=

∴顶点的坐标为，

连接

则

是直角三角形，且．

当点在直线下方时，

设的中点为

则，

且点为直线与抛物线的交点(不与点重合)

设直线的表达式为y=px+q

把B,H的坐标代入得

解得

∴直线的表达式为

令，

解得(舍去)或

此时的坐标为

当点在直线上方时，．

设直线CD的解析式为y=mx+n

把C,D的坐标代入得

解得

∴直线的表达式为，

则可设直线的表达式为

将点代入解得

故直线的表达式为．

令，

解得或

此时点的坐标为

综上所述，点的坐标为或．