Question

19．如图，∠AOB=90°，将三角尺的直角顶点落在∠AOB的角平分线OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，求证：PE=PF．

Answer 1

分析 过点P作PM⊥OA于M，PN⊥⊥OB于N，根据角平分线的性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，PM=PN，可以通过证明PM、PN所两在的两个直角三角形全等，即Rt△PEM≌Rt△PFM 来证明PE=PF

解答 证明：过点P作PM⊥OA于M，PN⊥⊥OB于N，则∠PMO=∠PNO=90°
∵∠AOB=90°
∴四边形OMPN是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
∴∠MPN=90°（矩形的四个角都是直角）
又∵∠EPF=90°（已知）
∴∠MPN=∠EPF，
∴∠MPN-∠EPN=∠EPF-∠EPN
即：∠1=∠2
∵OP平分∠AOB（已知）
∴PM=PN（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）
∴△PME≌△PNF（AAS）
∴PE=PF（全等三角形的对应边相等）

点评 本题是证明两条线段相等．证明两条线段相等，通常是证明这两条线段所在的三角形全等，然后再根据全等三角形对应边相等证得的结论．注意题目给出了角平分线，常常应用到角平分线性质构造辅助线帮助解决问题．