Question

【题目】“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：

实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由

S四边形ABCD=S△ABC+S△ADE+S△ABE得，化简得：

实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x的方程的图解法是：

画Rt△ABC，使∠ABC=90°，BC=，AC=，再在斜边AB上截取BD＝，则AD的长就是该方程的一个正根(如实例二图)

请根据以上阅读材料回答下面的问题：

(1)如图1，请利用图形中面积的等量关系，写出甲图要证明的数学公式是 ，乙图要证明的数学公式是

(2)如图2，若2和-8是关于x的方程x2+6x＝16的两个根，按照实例二的方式构造Rt△ABC，连接CD，求CD的长；

(3)若x，y，z都为正数，且x2+y2＝z2，请用构造图形的方法求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）完全平方公式；平方差公式；（2）；（3）

【解析】

（1）利用面积法解决问题即可；

（2）如图2，作于点H，由题意可得出，利用面积求出的长，再利用勾股定理求解即可；

（3）如图3，用4个全等的直角三角形（两直角边分别为x，y，斜边为z），拼如图正方形，当时定值，z最小时，的值最大值．易知，当小正方形的顶点是大正方形的中点时，z的值最小，此时，，据此求解即可．

解：（1）图1中甲图大正方形的面积

乙图中大正方形的面积

即

∴甲图要证明的数学公式是完全平方公式，乙图要证明的公式是平方差公式；

故答案为：完全平方公式；平方差公式；

（2）如图2，作于点H，

根据题意可知，

根据三角形的面积可得：

解得：

根据勾股定理可得：

根据勾股定理可得：；

（3）如图3，用4个全等的直角三角形（两直角边分别为x，y，斜边为z），拼如图正方形

当时定值，z最小时，的值最大值

易知，当小正方形的顶点是大正方形的中点时，z的值最小，此时，，

∴的最大值为．