Question

已知抛物线y=-x²+（m-4）x+2m+4与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，与y轴交于点C，且x₁＜x₂，x₁+2x₂=0．若点A关于y轴的对称点是点D．
（1）求过点C、B、D的抛物线的解析式；
（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式．

Answer 1

（1）由题意得：

x1+2x2=0① x1+x2=m-4② x1x2=-2m-4③ (m-4)2+4(2m+4)=m2+32＞0

由①②得：x₁=2m-8，x₂=-m+4，
将x₁、x₂代入③得：（2m-8）（-m+4）=-2m-4，
整理得：m²-9m+14=0．
∴m₁=2，m₂=7（2分）
∵x₁＜x₂
∴2m-8＜-m+4
∴m＜4
∴m₂=7（舍去）（3分）
∴x₁=-4，x₂=2，点C的纵坐标为：2m+4=8
∴A、B、C三点的坐标分别是A（-4，0）、B（2，0）、C（0，8）（4分）
又∵点A与点D关于y轴对称
∴D（4，0）（5分）
设经过C、B、D的抛物线的解析式为：y=a（x-2）（x-4）（6分）
将C（0，8）代入上式得：8=a（0-2）（0-4）
∴a=1，
∴所求抛物线的解析式为：y=x²-6x+8．（7分）

（2）∵y=x²-6x+8=（x-3）²-1，
∴顶点P（3，-1）（8分）
设点H的坐标为H（x₀，y₀）
∵△BCD与△HBD的面积相等
∴|y₀|=8
∵点H只能在x轴的上方，
故y₀=8
将y₀=8代入y=x²-6x+8中得：x₀=6或x₀=0（舍去）
∴H（6，8）（9分）
设直线PH的解析式为：y=kx+b得：

3k+b=-1 6k+b=8

，
解得：

k=3 b=-10

，
∴直线PH的解析式为：y=3x-10．（12分）