Question

【题目】如图，四边形内接于⊙，点在上，，过点作⊙的切线，分别交，的延长线于点，．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AD，详情见解析；

【解析】

（1）连接OC，如图，先证明OC∥AF，再根据切线的性质得OC⊥EF，从而得到AF⊥EF；

（2）先利用OC∥AF得到∠COE=∠DAB，在Rt△OCE中，设OC=r，利用余弦的定义得到，解得r=4，连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，然后根据余弦的定义可计算出AD的长．

（1）证明：连接OC，

∵CD=BD，

∴弧CD=弧BC，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠2=∠OCA，

∴∠1=∠OCA，

∴OC∥AF，

∵EF为切线，

∴OC⊥EF，

∴AF⊥EF；

（2）∵OC∥AF，

∴∠COE=∠DAB，

在Rt△OCE中，设OC=r，

∵cos∠COE=cos∠DAB=，

即，

解得r=4，

连接BD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，

在Rt△ADB中，cos∠DAB=，

∴AD；