A
分析:由BC=CD=2AD,且E、F分别为BC、DC的中点,利用中点定义及等量代换得到FC=EC,再由一对公共角相等,利用SAS得到△BCF≌△DCE,利用全等三角形的对应角相等得到∠FBC=∠EDC,再由BE=DF及对顶角相等,利用AAS得到的△BPE≌△DPF,利用全等三角形的对应角相等得到BP=DP,再由CP为公共边,BC=DC,利用SSS得到△BPC≌△DPC,根据全等三角形的对应角相等得到∠BCP=∠DCP,即CP为∠BCD平分线,故选项①正确;由AD=BE且AB∥BE,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ABED为平行四边形,故选项②正确;由△BPC≌△DPC,得到两三角形面积相等,而△BPQ与四边形ADPQ的面积不相等,可得出CQ不能将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分,故选项③不正确;由全等得到BF=ED,利用平行四边形的对边相等得到AB=ED,等量代换可得AB=BF,即三角形ABF为等腰三角形,故选项④正确.
解答:∵BC=CD=2AD,E、F分别是BC、CD边的中点,
∴CF=CE,BE=DF,
在△BCF和△DCE中,
∵
,
∴△BCF≌△DCE(SAS),
∴∠FBC=∠EDC,BF=ED,
在△BPE和△DPF中,
∵
,
∴△BPE≌△DPF(AAS),
∴BP=DP,
在△BPC和△DPC中,
∵
,
∴△BPC≌△DPC(SSS),
∴∠BCP=∠DCP,即CP平分∠BCD,
故选项①正确;
又∵AD=BE且AD∥BE,
∴四边形ABED为平行四边形,
故选项②正确;
显然S
△BPC=S
△DPC,但是S
△BPQ≠S
四边形ADPQ,
∴S
△BPC+S
△BPQ≠S
△DPC+S
四边形ADPQ,
即CQ不能将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分,
故选项③不正确;
∵BF=ED,AB=ED,
∴AB=BF,即△ABF为等腰三角形,
故④正确;
综上,不正确的选项为③,其个数有1个.
故选A.
点评:本题考查了等腰三角形的判定,平行四边形的判定与性质,以及全等三角形的判定与性质,熟记以上图形的性质,并能灵活运用其性质,是解答本题的关键,本题综合性较好.