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【题目】在平面直角坐标系XOY中,直线l1过点A(1,0)且与y轴平行,直线l2过点B(0,2)且与x轴平行,直线l1与直线l2相交于点P.点E为直线l2上一点,反比例函数 (k>0)的图象过点E与直线l1相交于点F.
(1)若点E与点P重合,求k的值;
(2)连接OE、OF、EF.若k>2,且△OEF的面积为△PEF的面积的2倍,求E点的坐标;
(3)是否存在点E及y轴上的点M,使得以点M、E、F为顶点的三角形与△PEF全等?若存在,求E点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)解:若点E与点P重合,则k=1×2=2
(2)解:当k>2时,如图1,

点E、F分别在P点的右侧和上方,过E作x轴的垂线EC,垂足为C,过F作y轴的垂线FD,垂足为D,EC和FD相交于点G,则四边形OCGD为矩形,

∵PF⊥PE,

∴SFPE= PEPF= ﹣1)(k﹣2)= k2﹣k+1,

∴四边形PFGE是矩形,

∴SPFE=SGEF

∴SOEF=S矩形OCGD﹣SDOF﹣SEGF﹣SOCE= k﹣ ﹣( k2﹣k+1)﹣ = k2﹣1,

∵SOEF=2SPEF

k2﹣1=2( k2﹣k+1),

解得k=6或k=2,

∵k=2时,E、F重合,

∴k=6,

∴E点坐标为:(3,2)


(3)解:存在点E及y轴上的点M,使得△MEF≌△PEF,

①当k<2时,如图2,只可能是△MEF≌△PEF,作FH⊥y轴于H,

∵∠MHF=∠EBM=90°,∠HMF=∠MEB,

∴△FHM∽△MBE,

∵FH=1,EM=PE=1﹣ ,FM=PF=2﹣k,

= ,BM=

在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2

∴(1﹣ 2=( 2+( 2

解得k= ,此时E点坐标为( ,2),

②当k>2时,如图3,

只可能是△MFE≌△PEF,作FQ⊥y轴于Q,△FQM∽△MBE得,

∵FQ=1,EM=PF=k﹣2,FM=PE= ﹣1,

= ,BM=2,

在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2

∴(k﹣2)2=( 2+22,解得k= 或0,但k=0不符合题意,

∴k=

此时E点坐标为( ,2),

∴符合条件的E点坐标为( ,2)( ,2).


【解析】(1)根据反比例函数中k=xy进行解答即可;(2)当k>2时,点E、F分别在P点的右侧和上方,过E作x轴的垂线EC,垂足为C,过F作y轴的垂线FD,垂足为D,EC和FD相交于点G,则四边形OCGD为矩形,再求出SFPE= k2﹣k+1,根据SOEF=S矩形OCGD﹣SDOF﹣SEGF﹣SOCE即可求出k的值,进而求出E点坐标;(3)①当k<2时,只可能是△MEF≌△PEF,作FH⊥y轴于H,由△FHM∽△MBE可求出BM的值,再在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2 , 求出k的值,进而可得出E点坐标; ②当k>2时,只可能是△MFE≌△PEF,作FQ⊥y轴于Q,△FQM∽△MBE得, ,可求出BM的值,再在Rt△MBE中,由勾股定理得,EM2=EB2+MB2 , 求出k的值,进而可得出E点坐标.
【考点精析】掌握勾股定理的概念和相似三角形的判定与性质是解答本题的根本,需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方.

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