Question

【题目】是⊙O直径，在的异侧分别有定点和动点，如图所示，点在半圆弧 上运动（不与、重合），过作的垂线，交的延长线于，已知，∶＝∶．

（1）求证：·＝·；

（2）当点运动到弧的中点时，求的长；

（3）当点运动到什么位置时，的面积最大？请直接写出这个最大面积．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）CD=；（3）当PC为⊙O直径时，△PCD的最大面积=.

【解析】

（1）由圆周角定理可得∠PCD=∠ACB=90°，可证△ABC∽△PCD，可得,即可得证。

（2）由题意可求BC=4，AC=3，由勾股定理可求CE的长，由锐角三角函数可求PE的长，即可得PC的长，由ACCD=PCBC可求CD的值；

（3）当点P在上运动时，，由（1）可得：，可得，当PC最大时，△PCD的面积最大，而PC为直径时最大，故可求解．

证明：（1）

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°

∵PC⊥CD，

∴∠PCD=90°

∴∠PCD=∠ACB，且∠CAB=∠CPB

∴△ABC∽△PCD

∴

∴ACCD=PCBC

（2）∵AB=5，BC：CA=4：3，∠ACB=90°

∴BC=4，AC=3，

当点P运动到的中点时，过点B作BE⊥PC于点E

∵点P是的中点，

∴∠PCB=45°，且BC=4

∴CE=BE=BC=2

∵∠CAB=∠CPB

∴tan∠CAB==tan∠CAB=

∴PE=

∴PC=PE+CE=+2=

∵ACCD=PCBC

∴3×CD=×4

∴CD=

（3）当点P在上运动时，S△PCD=×PC×CD，

由（1）可得：CD=PC

∴S△PCD==PC2，

∴当PC最大时，△PCD的面积最大，

∴当PC为⊙O直径时，△PCD的最大面积=×52=