Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以AB，BC，CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN，CAFG，连接EF、GM、ND，设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3．

（1）猜想S1、S2、S3的大小关系．

（2）请对（1）的猜想，任选一个关系进行证明；

（3）若将图1中的Rt△ABC改为图2中的任意△ABC，若SABC＝5，求出S1+S2+S3的值；

（4）若将图2中的任意△ABC改为任意凸四边形ABCD，若S△AEG+S△CNK+S△IBH+S△DFM＝α，则四边形ABCD的面积为　 　（直接用含α的代数式表示结果）

Answer 1

【答案】（1）S1＝S2＝S3（2）见解析（3）15（4）a

【解析】

（1）猜想三个三角形面积相等；
（2）证明三个三角形都与△ABC面积相等．观察图形，要证明面积相等，图中正方形提供了一组相等的边作为底，只要证明高相等即可；
（3）证明思路同（2），S1、S2、S3面积都等于△ABC问题可求；
（4）作四边形ABCD对角线，可以以利用（3）中结论，△AEG、△CNK、△IBH、△DFM的面积可以分别于四边形ABCD被对角线分割所得的三角形对应相等，则问题可证．

（1）猜想：S1＝S2＝S3

（2）如图1，延长FA，过点E作EH⊥FA于H，

由已知：∠BAE＝∠CAH＝90°，

∴∠CAB＝∠HAE.

∵∠ACB＝∠AHE＝90°，AE＝AB，

∴△HAE≌△CAB，

∴EH＝BC，

∴S△AEF＝＝＝S△ABC，

∴S1＝S△ABC，

同理：S2＝S△ABC，S3＝S△ABC，

∴S1＝S2＝S3

（3）如图2

分别过点G和A作GQ⊥MC于Q，AP⊥BC于P，

由已知：∠GCA＝∠QCB＝90°，

∴∠GCQ＝∠ACP.

又∵∠GQC＝∠APC＝90°，

GC＝AC，

∴△GCQ≌△ACP，

∴GQ＝AP，

∵S△GCM＝,

S△ABC＝，

MC＝BC，

∴S△GCM＝S△ABC，

∴S3＝S△ABC，

同理：S1＝S△ABC，

S2＝S△ABC，

∴S1＝S2＝S3＝S△ABC，

∵SABC＝5，

∴S1+S2+S3＝15；

（4）如图3，连AC，

由（3）可知，S△DFM＝S△ADC，

S△IBH＝S△ABC，

∴S△DFM+S△IBH＝S△ADC+S△ABC＝S四边形ABCD，

同理：S△AEG+S△CNK＝S四边形ABCD，

∴S△AEG+S△CNK+S△IBH+S△DFM＝2S四边形ABCD，

∵S△AEG+S△CNK+S△IBH+S△DFM＝α，

∴2S四边形ABCD＝α，

∴四边形ABCD的面积为，

故答案为：