【题目】如图,直线y=2x+2与y轴交于A点,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点M,过M作MH⊥x轴于点H,且tan∠AHO=2.
(1)求H点的坐标及k的值;
(2)点P在y轴上,使△AMP是以AM为腰的等腰三角形,请直接写出所有满足条件的P点坐标;
(3)点N(a,1)是反比例函数y=(x>0)图象上的点,点Q(m,0)是x轴上的动点,当△MNQ的面积为3时,请求出所有满足条件的m的值.
【答案】(1)k=4;(2)点P的坐标为(0,6)或(0,2+),或(0,2﹣);(3)m=7或3.
【解析】
(1)先求出OA=2,结合tan∠AHO=2可得OH的长,即可得知点M的横坐标,代入直线解析式可得点M坐标,代入反比例解析式可得k的值;
(2)分AM=AP和AM=PM两种情况分别求解可得;
(3)先求出点N(4,1),延长MN交x轴于点C,待定系数法求出直线MN解析式为y=-x+5.据此求得OC=5,再由S△MNQ=S△MQC-S△NQC=3知QC=2,再进一步求解可得.
(1)由y=2x+2可知A(0,2),即OA=2,
∵tan∠AHO=2,
∴OH=1,
∴H(1,0),
∵MH⊥x轴,
∴点M的横坐标为1,
∵点M在直线y=2x+2上,
∴点M的纵坐标为4,即M(1,4),
∵点M在y=上,
∴k=1×4=4;
(2)①当AM=AP时,
∵A(0,2),M(1,4),
∴AM=,
则AP=AM=,
∴此时点P的坐标为(0,2﹣)或(0,2+);
②若AM=PM时,
设P(0,y),
则PM= ,
∴=,
解得y=2(舍)或y=6,
此时点P的坐标为(0,6),
综上所述,点P的坐标为(0,6)或(0,2+),或(0,2﹣);
(3)∵点N(a,1)在反比例函数y=(x>0)图象上,
∴a=4,
∴点N(4,1),
延长MN交x轴于点C,
设直线MN的解析式为y=mx+n,
则有
解得,
∴直线MN的解析式为y=﹣x+5.
∵点C是直线y=﹣x+5与x轴的交点,
∴点C的坐标为(5,0),OC=5,
∵S△MNQ=3,
∴S△MNQ=S△MQC﹣S△NQC=×QC×4﹣×QC×1=QC=3,
∴QC=2,
∵C(5,0),Q(m,0),
∴|m﹣5|=2,
∴m=7或3,
故答案为:7或3.
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【题目】如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O分别与BC,AC相交于点D,E,BD=CD,过点D作⊙O的切线交边AC于点F.
(1)求证:DF⊥AC;
(2)若⊙O的半径为2,CF=1,求的长(结果保留π).
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【题目】赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”,某校举办了首届“中国诗词大会”,全校同时默写50首古诗词,每正确默写出一首古诗词得2分,结果有500名进入决赛,从这500名的学生中随机抽取50名学生进行成绩分析,根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表:(最高分98分):
组别 | 成绩x分 | 频数(人数) |
第1组 | 50≤x<60 | 6 |
第2组 | 60≤x<70 | 8 |
第3组 | 70≤x<80 | 14 |
第4组 | 80≤x<90 | a |
第5组 | 90≤x<100 | 10 |
Ⅰ.第3组的具体分数为:70,70,70,72,72,74,74,74,76,76,78,78,78,78
Ⅱ.50人得分平均数、中位数、众数如表:
平均数 | 中位数 | 众数 | |
得分(分) | m | n |
请结合图表数据信息完成下列各题:
(1)填空a= ,m= ;
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)若测试成绩不低于80分为优秀,估计进入决赛的本次测试为的优秀的学生有多少?
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【题目】列方程解应用题:
某商场用8万元购进一批新款衬衫,上架后很快销售一空,商场又紧急购进第二批这种衬衫,数量是第一次的2倍,但进价涨了4元/件,结果共用去17.6万元.
(1)该商场第一批购进衬衫多少件?
(2)商场销售这种衬衫时,每件定价都是58元,剩至150件时按八折出售,全部售完.售完这两批衬衫,商场共盈利多少元?
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【题目】如图1,△ABC是等腰三角形,O是底边BC中点,腰AB与⊙O相切于点D
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)如图2,连接CD,若tan∠BCD=,⊙O的半径为,求BC的长.
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,分别以AB,BC,CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN,CAFG,连接EF、GM、ND,设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3.
(1)猜想S1、S2、S3的大小关系.
(2)请对(1)的猜想,任选一个关系进行证明;
(3)若将图1中的Rt△ABC改为图2中的任意△ABC,若SABC=5,求出S1+S2+S3的值;
(4)若将图2中的任意△ABC改为任意凸四边形ABCD,若S△AEG+S△CNK+S△IBH+S△DFM=α,则四边形ABCD的面积为 (直接用含α的代数式表示结果)
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【题目】随着新能源汽车的发展,某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车,计划购买A型和B型新能源公交车共10辆,若购买A型公交车1辆,B型公交车2辆,共需300万元;若购买A型公交车2辆,B型公交车1辆,共需270万元,
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元?
(2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次.若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1000万元,且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次,则该公司有哪几种购车方案?哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少?
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【题目】如图,四边形是矩形纸片,.对折矩形纸片,使与重合,折痕为;展平后再过点折叠矩形纸片,使点落在上的点,折痕与相交于点;再次展平,连接,,延长交于点.以下结论:①;②;③;④△是等边三角形; ⑤为线段上一动点,是的中点,则的最小值是.其中正确结论的序号是( ).
A. ①②④B. ①④⑤C. ①③④D. ①②③⑤
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【题目】在同一直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2:y=x2+mx+n关于y轴对称,C2与x轴交于A、B两点,其中点A在点B的左侧.
(1)求抛物线C1,C2的函数表达式;
(2)求A、B两点的坐标;
(3)在抛物线C1上是否存在一点P,在抛物线C2上是否存在一点Q,使得以AB为边,且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出P、Q两点的坐标;若不存在,请说明理由.
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