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【题目】在同一直角坐标系中,抛物线C1yax22x3与抛物线C2yx2+mx+n关于y轴对称,C2x轴交于AB两点,其中点A在点B的左侧.

1)求抛物线C1C2的函数表达式;

2)求AB两点的坐标;

3)在抛物线C1上是否存在一点P,在抛物线C2上是否存在一点Q,使得以AB为边,且以ABPQ四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出PQ两点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1C1的函数表示式为yx22x3C2的函数表达式为yx2+2x3;(2A(﹣30),B10);(3)存在满足条件的点PQ,其坐标为P(﹣25),Q25)或P2,﹣3),Q(﹣2,﹣3).

【解析】

1)由对称可求得an的值,则可求得两函数的对称轴,可求得m的值,则可求得两抛物线的函数表达式;

2)由C2的函数表达式可求得AB的坐标;

3)由题意可知AB只能为平行四边形的边,利用平行四边形的性质,可设出P点坐标,表示出Q点坐标,代入C2的函数表达式可求得PQ的坐标.

解:(1)∵C1C2关于y轴对称,

C1C2的交点一定在y轴上,且C1C2的形状、大小均相同,

a1n=﹣3

C1的对称轴为x1

C2的对称轴为x=﹣1

m2

C1的函数表示式为yx22x3C2的函数表达式为yx2+2x3

2)在C2的函数表达式为yx2+2x3中,令y0可得x2+2x30,解得x=﹣3x1

A(﹣30),B10);

3)存在.

AB只能为平行四边形的一边,

PQABPQAB

由(2)可知AB1﹣(﹣3)=4

PQ4

Ptt22t3),则Qt+4t22t3)或(t4t22t3),

①当Qt+4t22t3)时,则t22t3=(t+42+2t+4)﹣3,解得t=﹣2

t22t34+435

P(﹣25),Q25);

②当Qt4t22t3)时,则t22t3=(t42+2t4)﹣3,解得t2

t22t3443=﹣3

P2,﹣3),Q(﹣2,﹣3),

综上可知存在满足条件的点PQ,其坐标为P(﹣25),Q25)或P2,﹣3),Q(﹣2,﹣3).

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类别

家庭藏书m

学生人数

A

0≤m≤25

20

B

26≤m≤100

a

C

101≤m≤200

50

D

m≥201

66

根据以上信息,解答下列问题:

(1)该调查的样本容量为_____a_____

(2)在扇形统计图中,“A”对应扇形的圆心角为_____°

(3)若该校有2000名学生,请估计全校学生中家庭藏书200本以上的人数.

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