Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AB≠BC，连接AC，AE是∠BAD的平分线，交边DC的延长线于点F．
（1）证明：CE=CF；
（2）若∠B=60°，BC=2AB，试判断四边形ABFC的形状，并说明理由．（如图2所示）

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图（1），

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAF=∠DAF，

∵在平行四边形ABCD中，

∴AB∥DF，AD∥BC，

∴∠BAF=∠F，∠DAF=∠CEF，

∴∠F=∠DAF=∠CEF，

∴CE=FC

（2）解：四边形ABFC是矩形，

理由：如图（2），

∵∠B=60°，AD∥BC，

∴∠BAD=120°，

∵∠BAF=∠DAF，

∴∠BAF=60°，

则△ABE是等边三角形，

可得AB=BE=AE，∠BEA=∠AFC=60°，

∵BC=2AB，

∴AE=BE=EC，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，

在△ABE和△FCE中

∵ ，

∴△ABE≌△FCE（ASA），

∴AB=FC，

又∵AB∥FC，

∴四边形ABFC是平行四边形，

再由∠BAC=90°，

故四边形ABFC是矩形．

【解析】（1）利用角平分线的性质结合平行四边形的性质得出∠BAF=∠F，∠DAF=∠CEF，进而得出答案；（2）利用等边三角形的判定方法得出△ABE是等边三角形，进而得出△ABE≌△FCE（ASA），即可得出AB=FC，进而结合矩形的判定方法求出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．