Question

【题目】如图 ，等腰三角形PEF中，PE=PF，点O在EF边上（异于点E，F），点Q是PO延长线上一点，若△EFQ为等腰三角形，则称点Q为△PEF的“同类点”.

（1）如图，BG平分∠MBN，过射线BM上的点A作AD∥BN，交射线BG于点D，点O为BD上一点，连接AO并延长交射线BN于点C，若∠BAD=100°，∠BCD=70°，求证：点C是△ABD的“同类点”；

（2）如图③，在5×5的正方形网格图上有一个△ABC，点A，B，C均在格点上，在给出的网格图上有一个格点D，使得点D为△ABC的“同类点”，则这样的点D共有__________个；

（3）凸四边形ABCD中，∠ABC=110°，DA=AB=BC，对角线AC，BD交于点O，且BD≠CD，若点C为△ABD的“同类点”，请直接写出满足条件的∠ADC的度数.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4；（3）∠ADC的度数为125°或110°.

【解析】

（1）根据平行线的性质和角平分线的性质可得△ABD是等腰三角形，然后可求出∠ABD=∠ADB=∠DBC=40°，利用三角形内角和定理求出∠BDC的度数即可得到△BCD为等腰三角形，即点C是△ABD的“同类点”；

（2）找出所有在BC下方能使△BCD为等腰三角形的格点D即可；

（3）根据点C为△ABD的“同类点”可知△BCD为等腰三角形，然后分情况讨论：①当BD=BC时，②当BC=CD时，分别作出图形，根据等边三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质求解即可.

解：（1）∵BG平分∠MBN，

∴∠ABD=∠DBC，

∵AD∥BN，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠ADB=∠ABD，

∴△ABD是等腰三角形，

又∵∠BAD=100°，

∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=40°，

∵∠BCD=70°，

∴∠BDC=180°－∠DBC－∠BCD=180°－40°－70°=70°，

∴△BCD为等腰三角形，

∴点C是△ABD的“同类点”；

（2）如图所示：这样的点D共有4个；

（3）∵∠ABC=110°，DA=AB=BC，BD≠CD，点C为△ABD的“同类点”，

分情况讨论：

①如图，当BD=BC时，则BD=BC=DA=AB，

∴△ABD是等边三角形，

∴∠ABD=∠ADB=60°，

∴∠DBC=110°－60°＝50°，

∴∠BDC=，

∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°+65°=125°；

②如图，当BC=CD时，

则∠ABD=∠ADB，∠CDB=∠CBD，

∴∠ADB+∠CDB=∠ABD+∠CBD，

∴∠ADC=∠ABC=110°，

综上，∠ADC的度数为125°或110°.