Question

【题目】如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得AC，连接BC，作△ABC的外接圆⊙O，点P为劣弧上的一个动点，弦AB、CP相交于点D．

（1）求∠APB的大小；

（2）当点P运动到何处时，PD⊥AB？并求此时CD：CP的值；

（3）在点P运动过程中，比较PC与AP+PB的大小关系，并对结论给予证明．

Answer 1

【答案】(1)、120°；(2)、3:4；(3)、PC=AP+PB；证明过程见解析

【解析】

试题分析：(1)、先根据题意判断出△ABC是等边三角形，再根据圆内接四边形对角互补的性质可知∠APB+∠ACB=180°，进而可得出结论；(2)、连接PC，OA，OB，设⊙O的半径为r，则CP=2r，根据⊙O为等边△ABC的外接圆可求出∠OAB=30°，再根据直角三角形的性质可用r表示出OD，CD的值，进而得出结论；

(3)、在AP的延长线上取点Q，使PQ=PB，连接BQ，可判断出△BPQ是等边三角形，再根据全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CBP，由全等三角形的性质即可得出结论．

试题解析：(1)、∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形，∵∠APB+∠ACB=180°，∴∠APB=120°

(2)、当点P运动到的中点时，PD⊥AB， 如图1，连接PC，OA，OB，设⊙O的半径为r，则CP=2r，

又∵⊙O为等边△ABC的外接圆， ∴∠OAB=30°， 在Rt△OAD中， ∵OD=OA=，

∴CD=+r=， ∴CD：CP=：2r=3：4；

(3)、PC=AP+PB

方法一： 如图2，在AP的延长线上取点Q，使PQ=PB，连接BQ， ∵∠APB=120°，

∴∠BPQ=60°， ∴△BPQ是等边三角形， ∴PB=BQ， ∵∠CBP=∠CBA+∠ABP=60°+∠ABP，

∠ABQ=∠QBP+∠ABP=60°+∠ABP， ∴∠ABQ=∠CBP， 在△ABQ和△CBP中，PB=QB，∠CBP=∠ABQ，CB=AB， ∴△ABQ≌△CBP， ∴CP=AQ=AP+PQ=AP+PB，即PC=AP+PB；

方法二：如图3，B为圆心，BP为半径画圆交CP于点M，连接BM， ∵∠CPB=60°，

∴△PBM是等边三角形， ∵∠CMB=120°， ∴∠CMB=∠APB， ∴△APB≌△CMB， ∴PC=AP+PB；

方法三：（略证）如图4，以A为圆心，A为半径画圆交CP于N，连接AN，

先证△APN是等边三角形，再证△ANC≌△APB， 从而PC=AP+PB．