Question

17．已知关于x的方程x²-（m+3）x+$\frac{{m}^{2}+2}{4}$=0
（1）若方程有实根，求实数m的取值范围．
（2）若方程两实根分别为x₁、x₂且满足x₁²+x₂²=|x₁x₂|+$\frac{41}{2}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式，可得不等式，根据解不等式，可得答案；
（2）根据根与系数的关系，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）由关于x的方程x²-（m+3）x+$\frac{{m}^{2}+2}{4}$=0，得
△=b²-4ac=[-（m+3）]²-4×1×$\frac{{m}^{2}+2}{4}$≥0，
解得m≥-$\frac{7}{6}$；
（2）由根于系数的关系，得x₁+x₂=m+3，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}+2}{4}$＞0，
x₁²+x₂²=|x₁x₂|+$\frac{41}{2}$，
（x₁+x₂）²=3x₁x₂+$\frac{41}{2}$，
（m+3）²=$\frac{3（{m}^{2}+2）}{4}$+$\frac{41}{2}$，
解得m₁=-26（不符合题意，舍），m₂=2．

点评 本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系得出关于m的方程是解题关键．