Question

如图，M为等腰△ABD的底AB的中点，过D作DC∥AB，连结BC；AB=8cm，DM=4cm，DC=1cm，动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC-CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（s）时，△MPQ的面积为S（不能构成△MPQ的动点除外）．
（1）t（s）为何值时，点Q在BC上运动，t（s）为何值时，点Q在CD上运动；
（2）求S与t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（4）当点Q在CD上运动时，直接写出t为何值时，△MPQ是等腰三角形．

Answer 1

考点：相似形综合题,解一元一次方程,一次函数的性质,二次函数的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,矩形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题,分类讨论

分析：（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，可以证到四边形DCEM是矩形，从而可以求出BC的长，然后考虑不能构成△MPQ的情况，即可解决问题．
（2）由于点P在点M的两边时PM的表达式不同，点Q在线段BC和DC上时点Q到PM的距离的表达式不同，因此需分三种情况讨论，如图1、2、3所示，然后只需用t的代数式表示出PM及其边上的高，就可求出S与t之间的函数关系式．
（3）利用二次函数和一次函数的性质对（2）中的三种情况进行分析，即可解决问题．
（4）易证QM≠MP，QP≠MP，若△MPQ是等腰三角形，只能是QM=QP．由QF⊥MP可得：MF=

1

2

MP．再由MF=DQ=6-t，MP=t-4可得到关于t的方程，解这个方程即可解决问题．

解答：解：（1）过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图1，
∵DA=DB，AM=BM，
∴DM⊥AB．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB=∠DMB=90°．
∴CE∥DM．
∵DC∥ME，CE∥DM，∠DME=90°，
∴四边形DCEM是矩形．
∴CE=DM=4，ME=DC=1．
∵AM=BM，AB=8，
∴AM=BM=4．
∴BE=BM-ME=3．
∵∠CEB=90°，CE=4，BE=3，
∴CB=5．
∵当t=4时，点P与点M重合，不能构成△MPQ，
∴t≠4．
∴当0＜t≤5且t≠4（s）时，点Q在BC上运动；当5≤t≤6（s）时，点Q在CD上运动．
（2）①当0＜t＜4时，点P在线段AM上，点Q在线段BC上，
过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图1，
∵QF⊥AB，CE⊥AB，
∴∠QFB=∠CEB=90°．
∴QF∥CE．
∴△QFB∽△CEB．
∴

QF

CE

=

BQ

BC

．
∵CE=4，BC=5，BQ=t，
∴

QF

4

=

t

5

．
∴QF=

4t

5

．
∵PM=AM-AP=4-t，
∴S=

1

2

PM•QF
=

1

2

（4-t）•

4t

5

=-

2

5

t²+

8t

5

．
②当4＜t≤5时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上，
过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图2，
∵QF⊥AB，CE⊥AB，
∴∠QFB=∠CEB=90°．
∴QF∥CE．
∴△QFB∽△CEB．
∴

QF

CE

=

BQ

BC

．
∵CE=4，BC=5，BQ=t，
∴

QF

4

=

t

5

．
∴QF=

4t

5

．
∵PM=AP-AM=t-4，
∴S=

1

2

PM•QF
=

1

2

（t-4）•

4t

5

=

2

5

t²-

8t

5

．
③当5＜t≤6时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上，
过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图3，
此时QF=DM=4．
∵PM=AP-AM=t-4，
∴S=

1

2

PM•QF
=

1

2

（t-4）×4
=2t-8．
综上所述：当0＜t＜4时S=-

2

5

t²+

8t

5

；当4＜t≤5时，S=

2

5

t²-

8t

5

；当5＜t≤6时，S=2t-8．
（3）①当0＜t＜4时，S=-

2

5

t²+

8t

5

=-

2

5

（t-2）²+

8

5

．
∵-

2

5

＜0，0＜2＜4，
∴当t=2时，S取到最大值，最大值为

8

5

．
②当4＜t≤5时，S=

2

5

t²-

8t

5

，对称轴为x=2．
∵

2

5

＞0，
∴当x＞2时，S随着t的增大而增大．
∴当t=5时，S取到最大值，最大值为

2

5

×5²-

8

5

×5=2．
③当5＜t≤6时，S=2t-8．
∵2＞0，
∴S随着t的增大而增大．
∴当t=6时，S取到最大值，最大值为2×6-8=4．
综上所述：当t=6时，S取到最大值，最大值为4．
（4）当点Q在CD上运动即5≤t≤6时，如图3，
则有QM≥QF，QP≥QF，即QM≥4，QP≥4．
∵MP=t-4＜6-4，即MP＜2，
∴QM≠MP，QP≠MP．
若△MPQ是等腰三角形，则QM=QP．
∵QM=QP，QF⊥MP，
∴MF=PF=

1

2

MP．
∵MF=DQ=5+1-t=6-t，MP=t-4，
∴6-t=

1

2

（t-4）．
解得：t=

16

3

．
∴当t=

16

3

秒时，△MPQ是等腰三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程等知识，综合性比较强，本题还重点考查了分类讨论的思想，是一道好题．