Question

如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．
（1）试判断BF与AE有什么样的数量关系．并说明理由；
（2）若CD=2，求AF的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）判断出△ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角边角”证明△ADC和△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，从而得解；
（2）根据全等三角形对应边相等可得DF=CD，利用勾股定理列式求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=FC．

解答：（1）解：BF=2AE．
理由如下：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ADC和△BDF中，

∠CAD=∠CBE AD=BD ∠ADC=∠BDF=90°

，
∴△ADC≌△BDF（ASA），
∴BF=AC，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AC=2AE，
∴BF=2AE；

（2）解：∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=2，
在Rt△CDF中，CF=

CD2+DF2

=

22+22

=2

2

，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=2

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记各性质并准确识图确定出全等三角形是解题的关键．