Question

【题目】（在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，经过对角线交点O的直线EF绕点O旋转，分别交AD、BC于点E、F，连接AF、CE．

（1）如图（1），依据下列条件在普通四边形、梯形、普通平行四边形、矩菱形或正方形中选择填空：旋转过程中四边形AFCE始终为；
当点E为AD的中点时四边形AFCE为；
当EF⊥AC时四边形AFCE为；
（2）如图（1），当EF⊥AC时，求AF的长；
（3）如图（2），在（2）的基础上，若动点P从A点出发，沿A→F→B→A运动一周停止，速度为每秒5厘米；同时点Q从C点出发，沿C→D→E→C运动一周停止，速度为每秒4厘米，在P、Q运动过程中，第几秒时，四边形APCQ是平行四边形？

Answer 1

【答案】
（1）平行四边形；平行四边形；菱形
（2）

解：：设菱形的边长AF=CF=xcm，则BF=（8﹣x）cm，

在Rt△ABF中，AB=4cm，

由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，

即42+（8﹣x）2=x2，

解得：x=5，

∴AF=5

（3）

根据题意得，P点AF上时，Q点CD上，此时A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；

同理P点AB上时，Q点DE或CE上，也不能构成平行四边形．

∴只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，

∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，

PC=QA，

∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，

∴PC=5t，QA=12﹣4t，

∴5t=12﹣4t，

解得：t= ，

∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t= 秒．

【解析】解：（1）当点E为AD的中点时，四边形AFCE为平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE．
在△AOE和△COF中， ，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE=CF．
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE为平行四边形；
当点E为AD的中点时，AE=CF，AE∥CF，
则四边形AFCE为平行四边形；
当EF⊥AC时，四边形AFCE为菱形，理由如下：
∵由①知四边形AFCE为平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形；
所以答案是：平行四边形；平行四边形；菱形．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对平行四边形的性质的理解，了解平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．