【题目】你能求(x﹣1)(x99+x98+x97+…+x+1)的值吗?遇到这样的问题,我们可以先思考一下,从简单的情形入手.先分别计算下列各式的值.
①(x﹣1)(x+1)=x2﹣1
②(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1
③(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1
……
由此我们可以得到:(x﹣1)(x99+x98+x97+…+x+1)=
请你利用上面的结论,再完成下面两题的计算:
(1)(﹣2)50+(﹣2)49+(﹣2)48+…+(﹣2)+1
(2)若x3+x2+x+1=0,求x2019的值
【答案】x100﹣1(1) (2)﹣1
【解析】
先根据规律计算:(x﹣1)(x99+x98+x97+…+x+1)的结果;
(1)根据规律确定:x﹣1,就是﹣2﹣1,得原式=(﹣2﹣1),根据公式可得结论;
(2)根据(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1,代入已知可得x的值,根据x3+x2+x+1=0,x2≥0,得x<0,可得x=﹣1,代入可得结论.
(1)由题意得:(x﹣1)(x99+x98+x97+…+x+1)=x100﹣1,
故答案为:x100﹣1;
(1)(﹣2)50+(﹣2)49+(﹣2)48+…+(﹣2)+1,
=(﹣2﹣1),
=,
=;
(2)∵(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1,x3+x2+x+1=0,
∴x4=1,
则x=±1,
∵x3+x2+x+1=0,
∴x<0,
∴x=﹣1,
∴x2019=﹣1.
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【题目】探究:
如图①,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、AC、CB上,且DE∥BC,EF∥AB,若∠ABC=65°,求∠DEF的度数.请将下面的解答过程补充完整,并填空(理由或数学式):
解:∵DE∥BC( )
∴∠DEF= ( )
∵EF∥AB
∴ =∠ABC( )
∴∠DEF=∠ABC( )
∵∠ABC=65°
∴∠DEF=
应用:
如图②,在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、AC、BC的延长线上,且DE∥BC,EF∥AB,若∠ABC=β,则∠DEF的大小为 (用含β的代数式表示).
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【题目】如图,在数轴上 A点表示的数是 a ,B 点表示的数是b ,且 ab满足|a 8|b-220.动线段 CD=4(点 D 在点 C 的右侧),从点 C与点 A重合的位置出发,以每秒 2 个单位的速度向右运动,运动时间为 t秒.
(1)求a,b的值, 运动过程中,点 D 表示的数是多少,(用含有 t 的代数式表示)
(2)在 B、C、D 三个点中,其中一个点是另外两个点为端点的线段的中点,求 t 的值;
(3)当线段 CD 在线段 AB上(不含端点重合)时,如图,图中所有线段的和记作为 S, 则 S的值是否随时间 t 的变化而变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出 S值.
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【题目】我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律,称之为“杨辉三角”,这个三角形给出了(a+b)n(n═1,2,3,4,…)的展开式的系数规律(按n的次数由大到小的顺序):
请依据上述规律,写出(x﹣2)2018展开式中含x2017项的系数是_____.
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【题目】如图,点O为线段AD上一点,CO⊥AD于点O,OA=OB,OC=OD,点M、N分别是AC、BD的中点,连接OM、ON、MN.
(1)求证:AC=BD;
(2)试判断△MON的形状,并说明理由;
(3)若AC=2,在图2中,点M在DB的延长线上,求△AMD的面积.
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【题目】四川雅安发生地震后,某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动,为了解捐款情况,学会生随机调查了部分学生的捐款金额,并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②,请根据相关信息,解答下列是问题:
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为 ,图①中m的值是 ;
(2)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;
(3)根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D,DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,现有下列结论:①DE=DF;②DE+DF=AD;③DM平分∠ADF;④AB+AC=2AE.其中,正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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