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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于点D,DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,现有下列结论:①DE=DF;②DE+DF=AD;③DM平分∠ADF;④AB+AC=2AE.其中,正确的有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】C

【解析】试题分析:①由角平分线的性质可知正确;由题意可知∠EAD=∠FAD=30°,故此可知ED=DF=,从而可证明正确;DM平分∠ADF,则∠EDM=90°,从而得到∠ABC为直角三角形,条件不足,不能确定,故错误;连接BDDC,然后证明△EBD≌△DFC,从而得到BE=FC,从而可证明

解:如图所示:连接BDDC

①∵AD平分∠BACDE⊥ABDF⊥AC

∴ED=DF

∴①正确.

②∵∠EAC=60°AD平分∠BAC

∴∠EAD=∠FAD=30°

∵DE⊥AB

∴∠AED=90°

∵∠AED=90°∠EAD=30°

∴ED=AD

同理:DF=

∴DE+DF=AD

∴②正确.

由题意可知:∠EDA=∠ADF=60°

假设MD平分∠ADF,则∠ADM=30°.则∠EDM=90°

∵∠E=∠BMD=90°

∴∠EBM=90°

∴∠ABC=90°

∵∠ABC是否等于90°不知道,

不能判定MD平分∠ADF

错误.

④∵DMBC的垂直平分线,

∴DB=DC

Rt△BEDRt△CFD

∴Rt△BED≌Rt△CFD

∴BE=FC

∴AB+AC=AE﹣BE+AF+FC

∵AE=AFBE=FC

∴AB+AC=2AE

正确.

故选:C

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∴∠3=∠

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