Question

1．已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=-$\frac{1}{3}$．
    ①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
    ②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a=-$\frac{1}{3}$，c=0代入y=ax²+bx+c即可求得抛物线的解析式；
②先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x），分两种情况讨论即可求得；
（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0时，最小值得＜-1，解不等式即可求得．

解答 解：（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
在△AOB和△BFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBF=∠BAO}\\{∠AOB=∠BFD}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF=BO=1，BF=AO=2，
∴D的坐标是（3，1），
根据题意，得a=-$\frac{1}{3}$，c=0，且a×3²+b×3+c=1，
∴b=$\frac{4}{3}$，
∴该抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x；
②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，
∴C（$\frac{1}{2}$，1），
∵C、D两点的纵坐标都为1，
∴CD∥x轴，
∴∠BCD=∠ABO，
∴∠BAO与∠BCD互余，
要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，
设P的坐标为（x，-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x），
（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，
则tan∠POB=tan∠BAO，即$\frac{PG}{OG}$=$\frac{BO}{AO}$，
∴$\frac{-\frac{1}{3}{x}^{2}+\frac{4}{3}x}{x}$=$\frac{1}{2}$，解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{5}{2}$，
∴-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x=$\frac{5}{4}$，
∴P点的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）；

（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3
则tan∠POB=tan∠BAO，即$\frac{PG}{OG}$=$\frac{BO}{AO}$，
∴$\frac{\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{4}{3}x}{x}$=$\frac{1}{2}$，解得x₁=0（舍去），x₂=$\frac{11}{2}$，
∴-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x=-$\frac{11}{4}$，
∴P点的坐标为（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$）；
综上，在抛物线上是否存在点P（$\frac{5}{2}$，$\frac{5}{4}$）或（$\frac{11}{2}$，-$\frac{11}{4}$），使得∠POB与∠BCD互余．

（2）如图3，∵D（3，1），E（1，1），
抛物线y=ax²+bx+c过点E、D，代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=1}\\{9a+3b+c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4a}\\{c=1+3a}\end{array}\right.$，所以y=ax²-4ax+3a+1．
分两种情况：
①当抛物线y=ax²+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．
（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；
（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax²+bx+c有两个交点，抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜-$\frac{1}{3}$；

②当抛物线y=ax²+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax²+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax²+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{1}{2}$，此时直线OQ的斜率为-$\frac{1}{2}$，则直线OQ的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x，要使直线OQ与抛物线y=ax²+bx+c有两个交点，所以方程ax²-4ax+3a+1=-$\frac{1}{2}$x有两个不相等的实数根，所以△=（-4a+$\frac{1}{2}$）²-4a（3a+1）＞0，即4a²-8a+$\frac{1}{4}$＞0，解得a＞$\frac{4+\sqrt{15}}{4}$（a＜$\frac{4-\sqrt{15}}{4}$舍去）
综上所示，a的取值范围为a＜-$\frac{1}{3}$或a＞$\frac{4+\sqrt{15}}{4}$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，正切函数，最小值等，分类讨论的思想是本题的关键．