Question

16．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，△ABC的外角平分线BD交⊙O于点D，DE⊥CB的延长线于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，BE=3，分别求线段DE和$\widehat{BD}$的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，DC，CO，首先证明AC∥DE可得∠ECD=∠ODC，根据直角三角形两锐角互余可得∠CDE+∠DCE=90°，利用等量代换可得∠ODC+∠CDE=90°，进而可得DE为⊙O的切线；
（2）首先证明∠DBE=60°，然后利用三角函数可得BD和DE长，再利用弧长公式可得$\widehat{BD}$的长．

解答 （1）证明：连接OD，DC，CO，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵DE⊥CB，
∴∠DEC=90°，
∴AC∥DE，∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠ECD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=90°，
∴DE为⊙O的切线；

（2）解：∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABE=120°，
∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD=∠DBE=60°，
∵BE=3，
∴DE=EB•tan60°=3$\sqrt{3}$，BD=6，
∵DO=BO，
∴∠BOD=60°，
∴$\widehat{BD}$=$\frac{60π×6}{180}$=2π．

点评 此题主要考查了弧长计算、切线的判定、以及三角函数的应用，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．