Question

6．如图，已知二次函数y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．
（1）点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（8，0）；
（2）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）抛物线的解析式中，令x=0即得二次函数与y轴交点A的纵坐标，令y=0即得二次函数与x轴交点的横坐标．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式，由于等腰△EDC的腰和底不确定，因此要分成三种情况讨论：
①CD=DE，由于OD=3，DA=DC=5，此时A点符合E点的要求，即此时A、E重合；
②CE=DE，根据等腰三角形三线合一的性质知：E点横坐标为点D的横坐标加上CD的一半，然后将其代入直线AC的解析式中，即可得到点E的坐标；
③CD=CE，此时CE=5，过E作EG⊥x轴于G，已求得CE、CA的长，即可通过相似三角形（△CEG∽△CAO）所得比例线段求得EG、CG的长，从而得到点E的坐标．

解答 解：（1）在二次函数中令x=0得y=4，
∴点A的坐标为（0，4），
令y=0得：=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+4，
即：x²-6x-16=0，
∴x=-2和x=8，
∴点B的坐标为（-2，0），点C的坐标为（8，0）．
故答案为：A（0，4），C（8，0）；

（3）易得D（3，0），CD=5，
设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，则：
$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{8k+b=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$．
∴y=-$\frac{1}{2}$x+4；
①当DE=DC时，
∵CD=5，
∴AD=5，
∵D（3，0），
∴OE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴E₁（0，4）；
②当DE=EC时，可得出E点在CD的垂直平分线上，可得出E点横坐标为：3+$\frac{5}{2}$=$\frac{11}{2}$，
进而将x=$\frac{11}{2}$代入y=-$\frac{1}{2}$x+4，得出y=$\frac{5}{4}$，
可得E₂（ $\frac{11}{2}$，$\frac{5}{4}$）；
③当DC=EC时，如图，过点E作EG⊥CD，
则△CEG∽△CAO，
∴$\frac{EG}{OA}$=$\frac{CG}{OC}$=$\frac{CE}{AC}$，
即EG=$\sqrt{5}$，CG=2 $\sqrt{5}$，
∴E₃（8-2 $\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）；
综上所述，符合条件的E点共有三个：E₁（0，4）、E₂（ $\frac{11}{2}$，$\frac{5}{4}$）、E₃（8-2 $\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$）．

点评 此题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、等腰三角形的构成条件、图形面积的求法等知识，（3）题的解题过程并不复杂，关键在于理解题意．