Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣a﹣b（a＜0，a、b为常数）与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y= x+ ．

（1）求该抛物线的函数关系式与C点坐标；
（2）已知点M（m，0）是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？
（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；
i：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转， 始终保持不变，若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
ii：试求出此旋转过程中，（NA+ NB）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y= x+ 中，令x=0，则y= ，令y=0，则x=﹣6，

∴B（0， ），A（﹣6，0），

把B（0， ），A（﹣6，0）代入y=ax2+bx﹣a﹣b得 ，

∴ ，

∴抛物线的函数关系式为：y=﹣ x2﹣ x+ ，

令y=0，则=﹣ x2﹣ x+ =0，

∴x1=﹣6，x2=1，

∴C（1，0）

（2）

解：∵点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，

∴D（m， m+ ），当DE为底时，

作BG⊥DE于G，则EG=GD= ED，GM=OB= ，

∴ m+ （﹣ m2﹣ m+ + m+ ）= ，

解得：m1=﹣4，m2=9（不合题意，舍去），

∴当m=﹣4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形

（3）

解：i：存在，

∵ON=OM′=4，OB= ，

∵∠NOP=∠BON，

∴当△NOP∽△BON时， = ，

∴ 不变，

即OP= =3，

∴P（0，3）

ii：∵N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由（i）知， = ，

∴NP= NB，

∴（NA+ NB）的最小值=NA+NP，

∴此时N，A，P三点共线，

∴（NA+ NB）的最小值= =3 ．

【解析】（1）根据已知条件得到B（0， ），A（﹣6，0），解方程组得到抛物线的函数关系式为：y=﹣ x2﹣ x+ ，于是得到C（1，0）；（2）由点M（m，0），过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，得到D（m， m+ ），当DE为底时，作BG⊥DE于G，根据等腰三角形的性质得到EG=GD= ED，GM=OB= ，列方程即可得到结论；（3）i：根据已知条件得到ON=OM′=4，OB= ，由∠NOP=∠BON，特殊的当△NOP∽△BON时，根据相似三角形的性质得到 = ，于是得到结论；
ii：根据题意得到N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由（i）知， = ，得到NP= NB，于是得到（NA+ NB）的最小值=NA+NP，此时N，A，P三点共线，根据勾股定理得到结论．