Question

10．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的图形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积．直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长．在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长．如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值．即可求出此时E的坐标；
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（-1，m），如图所示，过A′作A′N⊥对称轴于N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的对应边相等得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐标，将A′坐标代入抛物线解析式中求出相应m的值，即可确定出P的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），
∴OB=3，
∵OC=OB，
∴OC=3，
∴c=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{9a-3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴所求抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，-a²-2a+3）（-3＜a＜0），
∴EF=-a²-2a+3，BF=a+3，OF=-a，
∴S_{四边形BOCE}=$\frac{1}{2}$BF•EF+$\frac{1}{2}$（OC+EF）•OF，
=$\frac{1}{2}$（a+3）•（-a²-2a+3）+$\frac{1}{2}$（-a²-2a+6）•（-a），
=-$\frac{3}{2}{a}^{2}$-$\frac{9}{2}$a+$\frac{9}{2}$，
=-$\frac{3}{2}$（a+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{63}{8}$，
∴当a=-$\frac{3}{2}$时，S_{四边形BOCE}最大，且最大值为$\frac{63}{8}$．
此时，点E坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；

（3）∵抛物线y=-x²-2x+3的对称轴为x=-1，点P在抛物线的对称轴上，
∴设P（-1，m），
∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，
①当m≥0时，
∴PA=PA₁，∠APA₁=90°，
如图3，过A₁作A₁N⊥对称轴于N，设对称轴于x轴交于点M，
∴∠NPA₁+∠MPA=∠NA₁P+∠NPA₁=90°，
∴∠NA₁P=∠NPA，
在△A₁NP与△PMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A′NP=∠PMA=90°}\\{∠NA′P=∠MPA}\\{PA′=AP}\end{array}\right.$，
∴△A₁NP≌△PMA，
∴A₁N=PM=m，PN=AM=2，
∴A₁（m-1，m+2），
代入y=-x²-2x+3得：m+2=-（m-1）²-2（m-1）+3，
解得：m=1，m=-2（舍去），
②当m＜0时，要使P₂A=P₂A，₂，由图可知A₂点与B点重合，
∵∠AP₂A₂=90°，∴MP₂=MA=2，
∴P₂（-1，-2），
∴满足条件的点P的坐标为P（-1，1）或（-1，-2）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数，二次函数的性质，四边形的面积，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．