Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，垂足为O，过D作DE∥AC交BC的延长线于E．
（1）求证：四边形ACED是平行四边形；
（2）若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC可知AD∥CE，再根据AC∥DE，可知ACED是平行四边形；
（2）先由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角形的性质可知∠ACB=∠DBC，再由AC⊥BD，可知∠ACB=∠DBC=45°，OC=OB，由勾股定理得OC=OB=4

2

，同理OA=OD=2

2

，故可得出结论．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴AD∥CE，
又∵AC∥DE，
∴ACED是平行四边形；

（2）解：∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABC=∠BCD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
又∵AC⊥BD，
∴∠ACB=∠DBC=45°，
∴OC=OB，
∴在Rt△BOC中，OC=OB=BC•cos45°=4

2

，同理OA=OD=2

2

，
∴AC=BD=6

2

，
∴S_梯ABCD=

1

2

AC•BD=

1

2

（6

2

）²=36．

点评：本题考查的是等腰梯形的性质、全等三角形的判定定理及性质、勾股定理，先根据题意判断出△ABC≌△DCB是解答此题的关键．