【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣3,0)、B(5,0)、C(0,5)三点,O为坐标原点
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若把抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移 个单位长度,再向右平移n(n>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点M在△ABC内,求n的取值范围;
(3)设点P在y轴上,且满足∠OPA+∠OCA=∠CBA,求CP的长.
【答案】
(1)
解:把A、B、C三点的坐标代入函数解析式可得
,解得 ,
∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+5
(2)
解:∵y=﹣ x2+ x+5,
∴抛物线顶点坐标为(1, ),
∴当抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移 个单位长度,再向右平移n(n>0)个单位长度后,得到的新抛物线的顶点M坐标为(1+n,1),
设直线BC解析式为y=kx+m,把B、C两点坐标代入可得 ,解得 ,
∴直线BC的解析式为y=﹣x+5,
令y=1,代入可得1=﹣x+5,解得x=4,
∵新抛物线的顶点M在△ABC内,
∴1+n<4,且n>0,解得0<n<3,
即n的取值范围为0<n<3;
(3)
解:当点P在y轴负半轴上时,如图1,过P作PD⊥AC,交AC的延长线于点D,
由题意可知OB=OC=5,
∴∠CBA=45°,
∴∠PAD=∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°,
∴AD=PD,
在Rt△OAC中,OA=3,OC=5,可求得AC= ,
设PD=AD=m,则CD=AC+AD= +m,
∵∠ACO=∠PCD,∠COA=∠PDC,
∴△COA∽△CDP,
∴ ,即 ,
由 可求得m= ,
∴ ,解得PC=17;
可求得PO=PC﹣OC=17﹣5=12,
如图2,在y轴正半轴上截取OP′=OP=12,连接AP′,
则∠OP′A=∠OPA,
∴∠OP′A+∠OCA=∠OPA+∠OCA=∠CBA,
∴P′也满足题目条件,此时P′C=OP′﹣OC=12﹣5=7,
综上可知PC的长为7或17
【解析】(1)根据A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线的解析式;(2)可先求得抛物线的顶点坐标,再利用坐标平移,可得平移后的坐标为(1+n,1),再由B、C两点的坐标可求得直线BC的解析式,可求得y=1时,对应的x的值,从而可求得n的取值范围;(3)当点P在y轴负半轴上时,过P作PD⊥AC,交AC的延长线于点D,根据条件可知∠PAD=45°,设PD=DA=m,由△COA∽△CDP,可求出m和PC的长,此时可求得PO=12,利用等腰三角形的性质,可知当P点在y轴正半轴上时,则有OP=12,从而可求得PC=5.本题主要考查二次函数的综合应用,涉及到的知识点有待定系数法、坐标的平移、三角形的外角、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及分类讨论等.在(2)中确定出M点向右平移的最大位置是解题的关键,在(3)中利用∠OPA+∠OCA=∠CBA=45°构造三角形相似是解题的关键.本题目考查知识点多,综合性强,特别是第(3)问难度很大.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小.
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【题目】如图,AB是半圆直径,半径OC⊥AB于点O,AD平分∠CAB交弧BC于点D,连接CD、OD,给出以下四个结论:①AC∥OD;②CE=OE;③△ODE∽△ADO;④2CD2=CEAB.其中正确结论的序号是 .
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【题目】阅读下面材料:
小明遇到这样一个问题:如图1,△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,∠DAB=∠ABD,BE⊥AD,垂足为E,求证:BC=2AE.
小明经探究发现,过点A作AF⊥BC,垂足为F,得到∠AFB=∠BEA,从而可证△ABF≌△BAE(如图2),使问题得到解决.
(1)根据阅读材料回答:△ABF与△BAE全等的条件是 AAS(填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个)
参考小明思考问题的方法,解答下列问题:
(2)如图3,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,E为DC的中点,点F在AC的延长线上,且∠CDF=∠EAC,若CF=2,求AB的长;
(3)如图4,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D、E分别在AB、AC边上,且AD=kDB(其中0<k< ),∠AED=∠BCD,求 的值(用含k的式子表示).
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【题目】在大课间活动中,体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试,并对成绩进行统计分析,绘制了频数分布表和统计图,请你根据图表中的信息完成下列问题:
分 组 | 频数 | 频率 |
第一组(0≤x<15) | 3 | 0.15 |
第二组(15≤x<30) | 6 | a |
第三组(30≤x<45) | 7 | 0.35 |
第四组(45≤x<60) | b | 0.20 |
(1)频数分布表中a= , b= , 并将统计图补充完整;
(2)如果该校七年级共有女生180人,估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人?
(3)已知第一组中只有一个甲班学生,第四组中只有一个乙班学生,老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会,则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少?
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【题目】如图,直线y= x+ 与两坐标轴分别交于A、B两点.
(1)求∠ABO的度数;
(2)过A的直线l交x轴半轴于C,AB=AC,求直线l的函数解析式.
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【题目】如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE:S△COA=1:25,则S△BDE与S△CDE的比是( )
A.1:3
B.1:4
C.1:5
D.1:25
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【题目】如图,某中学为合理安排体育活动,在全校喜欢乒乓球、排球、羽毛球、足球、篮球五种球类运动的1000名学生中,随机抽取了若干名学生进行调查,了解学生最喜欢的一种球类运动,每人只能在这五种球类运动中选择一种.调查结果统计如下:
球类名称 | 乒乓球 | 排球 | 羽毛球 | 足球 | 篮球 |
人数 | a | 12 | 36 | 18 | b |
解答下列问题:
(1)本次调查中的样本容量是;
(2)a= , b=;
(3)试估计上述1000名学生中最喜欢羽毛球运动的人数.
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【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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