Question

如图所示，?ABCD中，AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，已知AB=10，BM=5，MC=3，则MN的长为

 

．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,勾股定理

专题：

分析：根据题意，在Rt△ABM中利用勾股定理算出AM=5

3

，根据三角函数定义得∠B=60°且∠BAM=30°．由平行四边形的性质，得∠D=60°且∠BAD=120°．在Rt△ADN中算出
AN=ADsin60°=4

3

，最后在△AMN中利用余弦定理加以计算，即可得到MN的长．

解答：解：∵AM⊥BC，AB=10，BM=5，
∴Rt△ABM中，AM=

AB2-BM2

=5

3

，
cosB=

BM

AB

=

1

2

，可得∠B=60°，∠BAM=30°
∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠D=∠B=60°，∠BAD=120°
∵AN⊥CD，AD=BC=BM+MC=8
∴在Rt△ADN中，AN=ADsin60°=4

3

，∠DAN=90°-∠D=30°
∵△AMN中，AM=5

3

，∠MAN=∠BAD-∠BAM-∠DAN=30°，
∴由余弦定理，得
MN²=AM²+AN²-2•AM•AN•cos60°=75+48-2×5

3

×4

3

×

1

2

=63
∴MN=

63

=3

7

故答案为：3

7

点评：本题给出平行四边形的两条高线，在已知两边长度的情况下求高线的垂足之间的距离．着重考查了平行四边形的性质、解三角形和进行简单的演绎推理等知识，属于中档题．