Question

【题目】如图1，在菱形ABCD中，AB=，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF．

（1）求证：BE=DF；

（2）当t= 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于 ；

（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？

（4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E的运动过程中，当它的对应点F位于直线AD上方时，直接写出点F到直线AD的距离y关于时间t的函数表达式．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2），12；（3）t=6或t=；（4）．

【解析】

试题分析：（1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，结合DC=BC、CE=CF证△DCF≌△BCE即可得；

（2）当点E运动至点E′时，由DF=BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；

（3）①∠EQP=90°时，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°，根据AB=CD=，tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得DE；

②∠EPQ=90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE=；

（4）连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，证△DCE≌△GCF可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，从而知四边形CDMN是平行四边形，由平行四边形得MN=CD=；再由∠CGN=∠DCN=∠CNG知CN=CG=CD=，根据tan∠ABC=tan∠CGN=2可得GM=+12，由GF=DE=t得FM=t﹣﹣12，利用tan∠FMH=tan∠ABC=2即可得FH．

试题解析：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵CF=CE，∠DCF=∠BCE，CD=CB，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；

（2）如图1，当点E运动至点E′时，DF=BE′，此时DF最小，在Rt△ABE′中，AB=，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴设AE′=x，则BE′=2x，∴AB=x=，则AE′=6，∴DE′=+6，DF=BE′=12，故答案为：，12；

（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①当∠EQP=90°时，如图2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；

②当∠EPQ=90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE=，∴t=秒；

综上所述：t=6或t=.

（4）.如图3，连接GF分别角直线AD、BC于点M、N，过点F作FH⊥AD于点H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵EC=FC，∠DCE=∠GCF，DC=GC，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四边形CDMN是平行四边形，∴MN=CD=，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣﹣12），即．